Question

如图所示，相距2L的AB、CD两直线间的区域存在着两个大小不同、方向相反的有界匀强电场，其中PT上方的电场E1的场强方向竖直向下，PT下方的电场E0的场强方向竖直向上，在电场左边界AB上宽为L的PQ区域内，连续分布着电量为＋q、质量为m的粒子。从某时刻起由Q到P点间的带电粒子，依次以相同的初速度v0沿水平方向垂直射入匀强电场E0中，若从Q点射入的粒子，通过PT上的某点R进入匀强电场E1后从CD边上的M点水平射出，其轨迹如图，若MT两点的距离为L/2。不计粒子的重力及它们间的相互作用。试求：

（1）电场强度E0与E1；

（2）在PQ间还有许多水平射入电场的粒子通过电场后也能垂直CD边水平射出，这些

入射点到P点的距离有什么规律？

（3）有一边长为a、由光滑绝缘壁围成的正方形容器，在其边界正中央开有一小孔S，

将其置于CD右侧，若从Q点射入的粒子经AB、CD间的电场从S孔水平射入容器

中。欲使粒子在容器中与器壁多次垂直碰撞后仍能从S孔射出(粒子与绝缘壁碰撞时

无能量和电量损失)，并返回Q点，在容器中现加上一个如图所示的匀强磁场，粒

子运动的半径小于a，磁感应强度B的大小还应满足什么条件？

Answer 1

（1）  即。（2）在PQ间还有许多水平射入电场的粒子通过电场后也能垂直CD边水平射出，这些入射点到P点的距离为（n=1、2、3、…）（3）B2=，N=1、2、3…．   解析： （1）设粒子经PT直线上的点R由E0电场进入E1电场，由Q到R及R到M点的时间分别为t1与t2，到达R时竖直速度为vy，则：

由及得：

   ① 

  ②  

   ③  

        ④   

上述三式联立解得：,    即。

（2）（8分）由E1＝2E0及③式可得t1＝2t2。

因沿PT方向粒子做匀速运动，故P、R两点间的距离是R、T两点间距离的两倍。即粒子在E0电场做类平抛运动在PT方向的位移是在E1电场中的两倍。

设PQ间到P点距离为△y的F处射出的粒子通过电场后也沿水平方向，若粒子第一次达PT直线用时△t，水平位移为△x，则

     

粒子在电场E1中可能做类平抛运动后垂直CD边射出电场，也可能做类斜抛运动后返

回E0电场，在E0电场中做类平抛运动垂直CD水平射出，或在E0电场中做类斜抛运动

再返回E1电场。

若粒子从E1电场垂直CD射出电场，则

      （n＝0、1、2、3、……）

解之得： 

（n＝0、1、2、3、……）

若粒子从E0电场垂直CD射出电场，则

 （k＝1、2、3、……）    

  （k＝1、2、3、……）

即PF间的距离为其中n＝0、1、2、3、……，k＝1、2、3、……

或          （n＝1、2、3、……）          （2分）

解之得：

（n＝1、2、3、……）                       （2分）

即PF间的距离为 （n = 1，2，3，……）      

（3）欲使粒子仍能从S孔处射出，粒子的运动轨迹可能是如图甲、乙所示的两种情况。

对图甲所示的情形，粒子运动的半径为R1，则  

又            

解得：

对图乙所示的情形，粒子运动的半径为R2，则   

又       

   

综合B1、B2得：

或           

又       

   

【思路点拨】（1）粒子在两电场中做类平抛运动，由图可得出粒子在两电场中的运动情况；分别沿电场方向和垂直电场方向列出物理规律，联立可解得电场强度的大小；（2）粒子进入电场做类平抛运动，根据运动的合成与分解，结合运动学公式，再由牛顿第二定律可求得磁感应强度；（3）粒子进入磁场时做圆周运动，由题意可知其运动的临界半径值，再由牛顿第二定律可求得磁感应强度．带电粒子在电场磁场中的运动要把握其运动规律，在电场中利用几何关系得出其沿电场．和垂直于电场的运动规律；而在磁场中也是要注意找出相应的几何关系，从而确定圆心和半径．