Question

8．如图所示，在一二象限-R≤x≤R范围内有竖直向下的匀强电场，场强大小为E，电场的上边界方程为y=$\frac{1}{2R}$x²．在三四象限内存在垂直于纸面向里、边界方程为x²+y²=R²的匀强磁场．现在第二象限中电场的上边界分布有许多质量为m，电量为q的正离子，在y=$\frac{1}{2}$R处有一荧光屏，当正离子达到荧光屏时会发光，不计重力和离子间相互作用力．
 （1）求横坐标为x=-$\frac{R}{2}$处的离子由静止释放后进入磁场时的速度大小；
（2）若仅让横坐标为x=-$\frac{R}{3}$处的离子由静止释故，它最后能经过（R，0），讨论从释放到经过点（R，0）所需时间t；
（3）若同时将所有离子由静止释放，释放后一段时间发现荧光屏上只有一点持续发出荧光，求该点坐标和磁感应强度B₁．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出粒子经电场加速度后获得的速度，即进入磁场时速度．
（2）根据动能定理求出x=-$\frac{R}{3}$处的离子释放后获得的速度，然后运动学公式和牛顿第二定律求出从释放到经过点（R，0）所需时间t．
（3）所有离子都经过的点为持续发出荧光的点，由几何知识确定半径，由牛顿第二定律求磁感应强度．

解答 解：（1）当x=$-\frac{R}{2}$，y=$\frac{1}{2R}{x}^{2}$=$\frac{R}{8}$，
根据动能定理得，$qE\frac{R}{8}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得v=$\sqrt{\frac{qER}{4m}}$．
（2）当x=$-\frac{R}{3}$，y=$\frac{1}{2R}{x}^{2}=\frac{R}{18}$，
根据动能定理得，$qE\frac{R}{18}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得v=$\frac{1}{3}\sqrt{\frac{qER}{m}}$，
从释放到到达x轴时间为：t₁=$\frac{v}{a}=\frac{\frac{1}{3}\sqrt{\frac{qER}{m}}}{\frac{qE}{m}}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{mR}{qE}}$．
a）第一种情况：离子直接从x=-$\frac{R}{3}$经磁场达x=R 处．
在磁场中经历半圆时间为：t₂=$\frac{s}{v}$=$\frac{\frac{π}{2}（R+\frac{R}{3}）}{v}$=$2π\sqrt{\frac{mR}{qE}}$，
总时间为：T₁=t₁+t₂=（2π+$\frac{1}{3}$）$\sqrt{\frac{mR}{qE}}$，
b）第二种情况：离子直接从x=$-\frac{R}{3}$经磁场达x=$\frac{R}{3}$处进入电场返回磁场再到x=R处
易得在磁场中时间仍然为：t₂=$2π\sqrt{\frac{mR}{qE}}$
在电场中时间为：3t₁=$\sqrt{\frac{mR}{qE}}$，
总时间为：T₂=3t₁+t₂=（2π+1）$\sqrt{\frac{mR}{qE}}$，
（3）在磁场B中有：qvB=$m\frac{{v}^{2}}{r}$，
所以运动半径为：r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{mE}{qR}}|\begin{array}{l}{x}&{\;}\\{\;}&{\;}\end{array}|$，
可以看出，B一定时，必有r∝|x|，当|x|→0时，r→0 （离子经磁场偏转从逼近原点出磁场）因此，所有离子都从原点（0，0）点出磁场，击中荧光屏上（0，$\frac{1}{2}R$），
则有：2r=x
因为qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
所以有：B₁=$\frac{mv}{qr}$=$2\sqrt{\frac{mE}{qR}}$．
答：（1）横坐标为x=-$\frac{R}{2}$处的离子由静止释放后进入磁场时的速度大小为$\sqrt{\frac{qER}{4m}}$．
（2）从释放到经过点（R，0）所需时间为（2π+$\frac{1}{3}$）$\sqrt{\frac{mR}{qE}}$或（2π+1）$\sqrt{\frac{mR}{qE}}$．
（3）该点坐标和磁感应强度为$2\sqrt{\frac{mE}{qR}}$．

点评 本题中电场的区域边界是数学解析式的表达方式，设计新颖，学习中应该注意数学思想在物理中的应用．