Question

如下图，半径R = 1.0m的四分之一圆弧形光滑轨道竖直放置，圆弧最低点B与长为L＝0.5m的水平面BC相切于B点，BC离地面高h = 0.45m，C点与一倾角为θ = 37°的光滑斜面连接，质量m＝1.0 kg的小滑块从圆弧上某点由静止释放，已知滑块与水平面间的动摩擦因数µ＝0.1。（已知sin37°=0.6  cos37°="0.8," g取l0 m/s²）求：
（1）若小滑块到达圆弧B点时对圆弧的压力刚好等于其重力的2倍，则小滑块应从圆弧上离地面多高处释放；
（2）若在C点放置一个质量M=2.0kg的小球，小滑块运动到C点与小球正碰后返回恰好停在B点，求小滑块与小球碰后瞬间小滑块的速度大小。
（3）小滑块与小球碰后小球将落在何处并求其在空中的飞行时间。

Answer 1

（1）H=0.95m （2）：v₁=1.0m/s  （3）0.3s            

（1）设小滑块运动到B点的速度为v_B ，由机械能守恒定律有：
mg（H﹣h）＝mv_B²          （2分）
由牛顿第二定律有
F-mg＝m     （2分）   
联立以上式解得:H=0.95m  （2分）          
(2) 设小滑块运动到C点的速度为v_C，由动能定理有：
mg（H-h）-µmgL=mv_C²     （2分）
解得小滑块在C点的速度v_C＝ 3 m/s     （1分）          
对滑块返回：由动能定理：µmgL=mv₁²     （2分）
解得：v₁=1.0m/s      （1分）
（3）由动量守恒：mv_C=-mv₁+Mv₂       （2分） 
解得v₂=2.0m/s     （1分）    
小球平抛到地面的水平距离s＝v₂ t＝v₂＝0.6m     （1分）            
斜面底宽d＝hcotθ＝0.6m          （1分）
所以小球离开C点将恰好落在斜面底端小滑块在空中的飞行时间即为小滑块平抛运动所用时间＝0.3s     （1分）
本题考查了从能量的角度解决曲线运动问题，在光滑圆轨道上滑块机械能守恒，再根据可得小滑块到达圆弧B点时对圆弧的压力刚好等于其重力的2倍，可得B点的速度。在BC上受摩擦力，可根据动能定理算出C点的速度。碰撞过程中动量守恒，小球做平抛运动，根据平抛运动规律解题。