Question

4．如图，光滑平行的竖直金属导轨MN、QP相距l，在M点和Q点间接一个阻值为R的电阻，在两导轨间OO₁O₁′O′矩形区域内有垂直导轨平面水平向里、高为h的磁感强度为B的匀强磁场．一质量为m，电阻也为R的导体棒ab，垂直搁在导轨上，与磁场下边界相距h₀．现用一竖直向上的大小为F=2mg恒力拉ab棒，使它由静止开始运动，进入磁场后开始做减速运动，在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒ab与导轨始终保持良好的接触，导轨电阻不计，空气阻力不计，g为重力加速度）．求：
（1）导体棒ab在离开磁场上边界时的速度；
（2）棒ab在刚进入磁场时加速度的大小；
（3）棒ab通过磁场区的过程中棒消耗的电能．

Answer 1

分析 （1）导体棒ab在离开磁场上边界时已经做匀速运动，推导出安培力与速度的关系式，再由平衡条件求速度．
（2）在h₀阶段中，根据动能定理求出棒ab在刚进入磁场时速度，求得安培力，再由牛顿第二定律求加速度的大小．
（3）棒ab通过磁场区的过程中，根据能量守恒定律求棒消耗的电能．

解答 解：（1）离开磁场时匀速，受到重力、安培力和拉力，
所以有 F=mg+F_A；
安培力为 F_A=BIl=$\frac{Blv}{2R}Bl$=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2R}$
代入上式解得 v=$\frac{2mgR}{{B}^{2}{l}^{2}}$ 
（2）在h₀阶段中，根据动能定理，得
  （F-mg）h₀=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v₁=$\sqrt{2g{h}_{0}}$
棒刚进入磁场时所受的安培力大小为  F_A′=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{1}}{2R}$
根据牛顿第二定律得 F-mg-F_A′=ma
解得  a=g-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}\sqrt{2g{h}_{0}}}{2mR}$
（3）对整个过程，根据能量守恒定律得到
  F（h₀+h）=mg（h₀+h）+Q+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
回路产生的总电能为 Q=mg（h₀+h）-$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{l}^{4}}$
棒消耗的电能为 E_电=$\frac{Q}{2}$=$\frac{1}{2}$mg（h+h₀）-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{l}^{4}}$
答：
（1）导体棒ab在离开磁场上边界时的速度是$\frac{2mgR}{{B}^{2}{l}^{2}}$；
（2）棒ab在刚进入磁场时加速度的大小是g-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}\sqrt{2g{h}_{0}}}{2mR}$；
（3）棒ab通过磁场区的过程中棒消耗的电能是$\frac{1}{2}$mg（h+h₀）-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{l}^{4}}$．

点评 此题关键要熟练推导出安培力与速度的关系式，判断在安培力作用下能量的转化情况，运用力学规律解答．