Question

已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天，利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为（　　）

A．0.2

B．2

C．20

D．200

Answer 1

分析：由万有引力等于向心力，分别列出太阳与地球的引力的表达式，地球与月球的引力的表达式；两式相比求得表示引力之比的表达式，再由圆周运动的心力由万有引力来提供分别列出地球公转，月球公转的表达式．进而分析求得比值．

解答：解：太阳对月球的万有引力：F1=

Gm日m月

r2

-------①（r指太阳到月球的距离）
     地球对月球的万有引力：F2=

Gm地m月

r 2 2

------②（r₂指地球到月球的距离）
  r₁表示太阳到地球的距离，因r₁=390r₂，因此在估算时可以认为 r=r₁（即近似认为太阳到月球的距离等于太阳到地球的距离），
则由

①

②

得：

F1

F2

=

m日 r 2 2

m 2 地 r 2 1

-----③
由圆周运动求中心天体的质量，由地球绕太阳公转：

Gm日m地

r 2 1

=m地

4π2

T 2 1

r1----④（T1指地球绕太阳的公转周期T₁=365天），由月球绕地球公转：

Gm地m月

r 2 2

=m月

4π2

T 2 2

r₂---------⑤（T₂指月球周期，T₂=27天）
由

④

⑤

可得：

m日

m地

=

r 3 1 T 2 2

r 3 2 T 2 1

----------------⑥
把⑥式代入③式

F1

F2

=

m日 r 2 2

m地 r 2 1

  可得

F1

F2

=

r1 T 2 2

r2 T 2 1

=390(

27

365

)2≈2
 所以ACD错误，B正确，
故选：B

点评：本题考查万有引力定律．首先要根据万有引力定律表达出太阳的地球的质量，然后再列出太阳和地球分别对月球的万有引力定律方程．