Question

12．如图所示，在平面直角坐标系xoy的第四象限内有一匀强电场，其场强大小为E．方向与x轴成30°角斜向上．一比荷为$\frac{q}{m}$的带正电粒子从P点由静止出发，接着在x轴上Q点进入第一象限，通过磁感应强度大小为B的矩形匀强磁场区域（图中未画出）后，从坐标原点O沿y轴负方向离开磁场区域．若P、Q间距为L，粒子重力不计，试求：
（1）粒子到达Q点时的速度大小；
（2）Q点的坐标；
（3）矩形磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析 （1）由动能定理，电场力做的功等于带电粒子动能的增加量，从而求出到达Q点的速度．
（2）画出带电粒子做匀速圆周运动的轨迹，由几何关系关系知道Q点的坐标应为3R，由洛仑兹力提供向心力求出半径，从而用已知条件表示出Q点的坐标．
（3）矩形的最小面积应恰好包含粒子的运动轨迹，如图所示，求出矩形的长、宽，也就求出了矩形的最小面积．

解答 解：做出粒子运动轨迹如图所示：
（1）设粒子到达Q点时的速度大小为v，粒子从P到Q过程，根据动能定理得到：
  $qEL=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
得到：v=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$．
（2）设粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，由几何关系可知Q点的坐标为（3R，0）
  又$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
得到：$R=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$
  则Q点的坐标为$（\frac{3}{B}\sqrt{\frac{2mEL}{q}}，0）$
（3）由图可得：最小的矩形磁场面积：
   ${S}_{min}=2Rcos30°（R-Rsin30°）=\frac{\sqrt{3}}{2}{R}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}mEL}{q{B}^{2}}$
答：（1）粒子到达Q点时的速度大小为$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$．
（2）Q点的坐标为$（\frac{3}{B}\sqrt{\frac{2mEL}{q}}，0）$．
（3）矩形磁场区域的最小面积为$\frac{\sqrt{3}mEL}{q{B}^{2}}$．

点评 本题的难点是在于找到粒子做匀速圆周运动的圆心，先确定圆心必在x轴上，又必须与PQ的延长线垂直，所以在x轴上向PQ延长线作垂线段，使垂线段的长与到原点的距离相等，这样就找到了圆心所在；至于最小面积应该是带电粒子的轨迹恰被矩形包含，与矩形的一边相切，又通过矩形的两角．