Question

4．如图10，竖直平面内放着两根间距L=1m、电阻不计的足够长平行金属板M、N，两板间接一阻值R=2Ω的电阻，N板上有一小孔Q，在金属板M、N之间CD上方有垂直纸面向里的磁感应强度B₀=1T的有界匀强磁场，N板右侧区域KL上、下部分分别充满方向垂直纸面向外和向里的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B₁=3T和B₂=2T．有一质量M=0.2kg、电阻r=1Ω的金属棒搭在M、N之间并与M、N良好接触，用输出功率恒定的电动机拉着金属棒竖直向上运动，当金属棒达最大速度时，在与Q等高并靠近M板的P点由静止释放一个比荷$\frac{q}{m}$=1×10⁴ C/kg的正离子，经电场加速后，以v=200m/s的速度从Q点垂直于N板边界射入右侧区域．不计离子重力，忽略电流产生的磁场，取g=10m/s²．求：
（1）金属棒达最大速度时，电阻R两端电压U；
（2）电动机的输出功率P；
（3）离子从Q点进入右侧磁场后恰好不会回到N板，求Q点距分界线的高度h．

Answer 1

分析 （1）粒子从P到Q是在加速电场中运动，根据动能定理求解板间电压，即为R两端电压；
（2）根据欧姆定律求解电流，根据安培力公式求解安培力，根据平衡条件求解拉力，最后结合切割公式和功率公式列式，联立求解即可；
（3）做出粒子在两个磁场中的运动过程图，粒子在两部分的磁场中均做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，求解轨道半径；分析找出不会回到N板的临界条件：即轨迹恰好与y轴相切，再根据几何关系即可求出h．

解答 解：
（1）设MN两板的电压为U，粒子在Q点的速度为v，R两端电压为U，导体棒的安培力为F_安，导体棒的最大速度为v_m，
        离子从P运动到Q，由动能定理：qU=$\frac{1}{2}$mv² ①
        解得R两端电压：U=2V ②
（2）电路的电流：I=$\frac{U}{R}$ ③
        安培力：F_安=B₀IL ④
        受力平衡：F=Mg+F_安 ⑤
        由闭合电路欧姆定律：E=I（R+r） ⑥
        感应电动势：E=B₀Lv_m ⑦
        电动机的输出功率：P=Fv_m ⑧
        联立②③④⑤⑥⑦⑧式解得：电动机功率 P=9W ⑨
（3）

       如图所示，设离子恰好不会回到N板时，对应的离子在上、下区域的运动半径分别为r₁和r₂，圆心的连线与N板的夹角为φ．
       粒子在磁场B₁中，根据洛伦兹力提供向心力得：qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$⑩
       解得运动半径为：r₁=$\frac{2}{3}$×10^-2m⑪
       粒子在磁场B₂中，根据洛伦兹力提供向心力得：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$⑫
       解得运动半径为：r₂=1×10^-2m⑬
       如图根据几何关系得：（r₁+r₂）sin φ=r₂⑭
       r₁+r₁cos φ=h⑮
      解⑩⑪⑫⑬⑭⑮得：h=1.2×10^-2m．⑯
答：（1）金属棒达最大速度时，电阻R两端电压U为2V；
      （2）电动机的输出功率P为9W；
      （3）离子从Q点进入右侧磁场后恰好不会回到N板，Q点距分界线的高度h为1.2×10^-2m．

点评 本题是一道综合题，考查点比较多，过程较为复杂要仔细分析，分析第三问时，一定要画出图，并且作图要规范，这样便于找到几何关系．