Question

如图所示，粗细均匀的玻璃管，当温度为27℃时，封闭在管内的空气柱AB长为30cm，BC长为10cm，管内水银柱水平部分CD长为18cm，竖直部分DE长为15cm，外界大气压强为75cmHg，问：要使水平管内没有水银柱，温度至少要升高到多少℃？
现有某同学的解法如下：
以ABC管中的气体为研究对象，各状态参量如下：p₁=（75-15）cmHg=60cmHgV₁=（30+10）cm?S=40cm?S（式中S为玻璃管的横截面）T₁=300K．要使水平管内没有水银柱，则气体膨胀到D处，这时气体的状态参量如下：p₂=（75-15-18）cmHg=42cmHgV₂=（30+10+18）cm?S=58cm?S（式中S为玻璃管的横截面）T₂=？
因为

p1V1

T1

=

p2V2

T2

，将上述各已知量代入，可求得T₂=304.5K，t₂=31.5℃
所以要使水平管内没有水银柱，温度至少要升高到31.5℃
已知上述计算无误，请问该同学求得的结果是否正确？倘若有错，请求出正确结果．

Answer 1

分析：该同学求得的结果有错．根据气态方程

pV

T

=c，温度T与pV成正比，当温度升高到T₂时，水平玻璃管右端还有xcm长的水银柱，根据气态方程得到T₂与x的关系式，再运用数学知识求出T₂的最大值，画出T-x图象进行分析．

解答：解：该同学求得的结果有错．
设当温度升高到T₂时，水平玻璃管右端还有xcm长的水银柱，则有
 p₂=75-（18+15-x）=（42+x）cmHg（2分），V₂=（30+28-x）S=（58-x）cm?S
由

p1V1

T1

=

p2V2

T2

，得

60×40

300

=

(42+x)(58-x)

T2

T2=-0.125x2+2x+304.5
可求得，当x=8cm时，T₂有最大值312.5K（1分），即39.5℃．
画出T₂随x变化的大致图象（如图所示）：从图象中不难发现，当玻璃管中气体的温度逐渐升高时x从18cm起逐渐减小，当气体温度升高到304.5K时x并不为零，只要气体温度不超过312.5K（39.5℃），水平管中总有水银柱，所以要使水平管内没有水银柱，温度至少要升高到39.5℃．
答：该同学求得的结果有错，正确的结果是温度至少要升高到39.5℃．

点评：本题关键要运用数学知识求T₂的最大值，作出T-x图象，结合气态方程进行分析．