Question

如图所示，足够长的光滑平行金属导轨，相距上，导轨平面与水平面夹角为θ，匀强磁场垂直于导轨平面，已知磁感应强度为B，平行导轨的上端连接一个阻值为R的电阻．一根质量为m，电阻为

1

2

R的金属棒oA垂直于导轨放置在导轨上，金属棒从静止开始沿导轨下滑．
（1）画出ab在滑行过程中的受力示意图．
（2）ab棒滑行的最大速度v_m=？
（3）若ab棒从静止开始沿斜面下滑距离s时，棒刚好达到最大速度，求棒从开始下滑到最大速度过程中，电阻R上产生的热量Q_R=？

Answer 1

分析：（1）先定性分析ab的受力情况，再画出受力示意图．
（2）金属棒ab先加速下滑，加速度减小，后匀速下滑，速度达到最大．由欧姆定律、感应电动势和安培力公式推导出安培力的表达式，根据平衡条件求解最大速度．
（3）金属棒由静止开始下滑s的过程中，重力和安培力对棒做功，棒的重力势能减小转化为棒的动能和电路的内能，根据能量守恒列式可求出整个电路中产生的总电热．

解答：解：（1）ab在滑行过程中的受力示意图如图，受到的力有重力mg、支持力N和安培力F．
（2）当d0杆受到的合力为零时，有最大速度，设金属棒ab中的电动势为E，电流为I，则有：
E=BLV_m
受到的安培力为：F=BIL
由欧姆定律可得电流为：I=

E

3 2 R

由平衡条件得：F=mgsinθ…①
联立得：

B2L2vm

3 2 R

=mgsinθ…②
解得：vm=

3Rmgsinθ

2B2L2

…③
（3）设从静止开始到速度最大的过程中，产生的总热量为Q，根据能量守恒有：
mgsinθ-

1

2

m

v

2 m

=Q…④
根据P=I²R有：QR=

2

3

Q…⑤
解得：QR=

2

3

mgssinθ-

3R2m3g2sin2θ

4B4L4

…⑥
或QR=

2

3

(mgssinθ-

9R2m3g2sin2θ

8B4L4

)
答：（1）画出ab在滑行过程中的受力示意图如图所示．
（2）ab棒滑行的最大速度vm=

3Rmgsinθ

2B2L2

．
（3）若ab棒从静止开始沿斜面下滑距离s时，棒刚好达到最大速度，求棒从开始下滑到最大速度过程中，电阻R上产生的热量QR=

2

3

(mgssinθ-

9R2m3g2sin2θ

8B4L4

)．

点评：本题考查了电路知识、电磁感应和力学知识，分析和计算安培力和能量如何转化是两个关键．