Question

一条宽度为L的河流，水流速度为V_s，已知船在静水中的速度为V_c，那么：
（1）怎样渡河时间最短？
（2）若V_c>V_s，怎样渡河位移最小？
（3）若V_c<V_s，怎样渡河船漂下的距离最短？船渡河的最短位移是多少？

Answer 1

解：（1）如图甲所示

设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V₁=V_csinθ，
渡河所需时间为：
可以看出：L、V_c一定时，t随sinθ增大而减小；
当θ=90⁰时，sinθ=1，所以当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，
（2）如图乙所示，

渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度V的方向与河岸垂直。
这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。根据三角函数关系有：
V_ccosθ─V_s=0，所以θ=arccosV_s/V_c
因为0≤cosθ≤1，
所以只有在V_c>V_s时，船才有可能垂直于河岸横渡。
（3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。
怎样才能使漂下的距离最短呢？如图丙所示，

设船头V_c与河岸上游成θ角，合速度V与河岸下游成α角。
可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么在什么条件下α角最大呢？
以V_s的矢尖为圆心，以V_c为半径画圆，当V与圆相切时，α角最大，
根据cosθ=V_c/V_s，
船头与河岸的夹角应为：θ=arccosVc/Vs。
此时渡河的最短位移为：