Question

3．在如图的坐标系中，其中第一象限和第四象限存在垂直平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，在坐标系原点的左侧2a处有一粒子发射源，y轴上有两点M、N，且两点距离坐标原点的距离均为a，在坐标原点左侧$\frac{L}{3}$处固定一长度为$\frac{2L}{3}$弹性绝缘板，垂直x放置且绝缘板关于x轴对称，如图所示．现粒子源发射一重力不计的带电粒子，带电粒子沿SM的连线方向由M点进入磁场．已知带电粒子的质量为m、电荷量为-q，带电粒子与绝缘板碰后的竖直方向的速度不变，水平方向的速度与碰前的方向相反且大小不变．求：
（1）带电粒子的速度多大时带电粒子能由M点直接运动到N点；
（2）如果带电粒子能由M点直接运动到坐标原点，则带电粒子第一次通过x轴时距离坐标原点的距离为多大；
（3）带电粒子的速度多大时，带电粒子与绝缘板碰撞两次且能回到S点．

Answer 1

分析 （1）作出粒子运动的轨迹图，结合几何关系求出粒子在磁场中运动的轨道半径，根据半径公式求出粒子的速度．
（2）作出粒子运动的轨迹图，根据几何关系求出粒子运动的半径，通过几何关系求出第一次经过x轴的位置距原点的距离
（3）抓住与挡板碰撞两次并能回到P点，作出轨迹图，结合几何关系，运用半径公式进行求解．

解答 解：（1）由题意画出粒子运动轨迹如图1所示，设SM与x轴正方向夹角为θ，粒子在磁场中做圆周运动的半径大小为${R}_{1}^{\;}$，由几何关系得${R}_{1}^{\;}cosθ=L$，其中$cosθ=\frac{2\sqrt{5}}{5}$粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有：$qvB=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$，解得${v}_{1}^{\;}=\frac{\sqrt{5}qBL}{2m}$
（2）由题意画出粒子运动轨迹如图2所示，设其与x轴交点为C，由几何关系得${R}_{2}^{\;}=\frac{\sqrt{5}}{4}L$，设C点横坐标为${x}_{C}^{\;}$，由几何关系得，带电粒子第一次通过坐标轴距离原点$\frac{L}{2}$
（3）由题意画出粒子运动轨迹如图3所示，设SM与x轴正方向的夹角为θ，粒子在磁场中做圆周运动的半径大小为${R}_{3}^{\;}$，偏转一次后在y负方向偏移量为$△{y}_{1}^{\;}$，由几何关系得$△{y}_{1}^{\;}=2{R}_{3}^{\;}cosθ$，为保证粒子最终能回到P，粒子与挡板碰撞后，速度方向应与SM连线平行，每碰撞一次，粒子进出磁场在y轴上这段距离$△{y}_{2}^{\;}$，可由题给条件，有$\frac{\frac{△{y}_{2}^{\;}}{2}}{\frac{L}{3}}=tanθ$，得$△{y}_{2}^{\;}=\frac{L}{3}$，当粒子只碰二次，其几何条件是$3△{y}_{1}^{\;}-2△{y}_{2}^{\;}=2L$，解得${R}_{3}^{\;}=\frac{2\sqrt{5}}{9}L$
粒子在磁场中做匀速圆周运动：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{R}_{3}^{\;}}$解得：$v=\frac{2\sqrt{5}qBL}{9m}$
答：（1）带电粒子的速度为$\frac{\sqrt{5}qBL}{2m}$带电粒子能由M点直接运动到N点；
（2）如果带电粒子能由M点直接运动到坐标原点，则带电粒子第一次通过x轴时距离坐标原点的距离为$\frac{L}{2}$；
（3）带电粒子的速度为$\frac{2\sqrt{5}qBL}{9m}$时，带电粒子与绝缘板碰撞两次且能回到S点．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，对于三小问，关键作出三种粒子的轨迹图，结合几何关系，运用半径公式进行求解，难度较大，对数学几何的关系要求较高，需加强这方面的训练．