Question

（2012?宁波模拟）如图所示，直角坐标系xoy位于竖直平面内，在?

3

m≤x≤0的区域内有磁感应强度大小B=4.0×10^-4T、方向垂直于纸面向里的条形匀强磁场，其左边界与x轴交于P点；在x＞0的区域内有电场强度大小E=4N/C、方向沿y轴正方向的条形匀强电场，其宽度d=2m．一质量m=6.4×10^-27kg、电荷量q=?-3.2×10?¹⁹C的带电粒子从P点以速度v=4×10⁴m/s，沿与x轴正方向成α=60°角射入磁场，经电场偏转最终通过x轴上的Q点（图中未标出），不计粒子重力．求：
（1）带电粒子在磁场中运动时间；
（2）当电场左边界与y轴重合时Q点的横坐标；
（3）若只改变上述电场强度的大小，要求带电粒子仍能通过Q点，讨论此电场左边界的横坐标x′与电场强度的大小E′的函数关系．

Answer 1

分析：（1）粒子在匀强磁场中由洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出半径，作出轨迹，由几何知识找出圆心角，求出运动时间．
（2）粒子进入匀强电场，只受电场力，做类平抛运动，根据运动的分解，求出粒子离开电场时的速度偏向角为θ，由数学知识求出Q点的横坐标．
（3）讨论当0＜x′＜3m时，Q点在电场外面右侧，画出轨迹，研究速度偏向角，求出横坐标x′与电场强度的大小E′的函数关系．
         当3m≤x'≤5m时，Q点在电场里，画出轨迹，研究偏转距离y，求出横坐标x′与电场强度的大小E′的函数关系．

解答：解：（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律 有qvB=

mv2

r

     
           代入数据得：r=2m      
      轨迹如图1交y轴于C点，过P点作v的垂线交y轴于O₁点，
      由几何关系得O₁为粒子运动轨迹的圆心，且圆心角为60°．
      在磁场中运动时间t=

T

6

=

1

6

×

2πm

qB

                      
      代入数据得：t=5.23×10^-5s                        
    （2）带电粒子离开磁场垂直进入电场后做类平抛运动
     设带电粒子离开电场时的速度偏向角为θ，如图1，
     则：tanθ=

vy

v

=

Eqd

mv2

=

4×3.2×10-19×2

6.4×10-27×16×108

=

1

4

     设Q点的横坐标为x
    则：tanθ=

1

x-1

=

1

4

             
     故x=5m．                        
    （3）电场左边界的横坐标为x′．
   当0＜x′＜3m时，如图2，设粒子离开电场时的速度偏向角为θ′，
    则：tanθ′=

E′qd

mv2

           
   又：tanθ′=

1

4-x′

          
    由上两式得：E′=

16

4-x′

     
   当3m≤x'≤5m时，如图3，有y=

1

2

at2=

E′q(5-x′)2

2mv2

       将y=1m及各数据代入上式得：E′=

64

(5-x′)2

    
答：（1）带电粒子在磁场中运动时间为t=5.23×10^-5s．
    （2）当电场左边界与y轴重合时Q点的横坐标x=5m．
    （3）电场左边界的横坐标x′与电场强度的大小E′的函数关系为E′=

64

(5-x′)2

．

点评：本题是磁场和电场组合场问题，考查分析和解决综合题的能力，关键是运用几何知识画出粒子的运动轨迹．