Question

（19分）“嫦娥三号”在月面成功软着陆，该过程可简化为：距月面15 km时，打开反推发动机减速，下降到距月面H=l00m.处时悬停，寻找合适落月点；然后继续下降，距月面h＝4m时，速度再次减为零；此后关闭所有发动机，自由下落至月面。“嫦娥三号”质量为m（视为不变），月球质量是地球的k倍．月球半径是地球的n倍，地球半径为R、表面重力加速度为g；月球半径远大于H，不计月球自转的影响。以下结果均用题中所给符号表示。
（1）求月球表面的重力加速度大小；
（2）求“嫦娥三号”悬停时反推发动机的推力大小F，以及从悬停处到落至月面过程中所有发动机对“嫦峨三号”做的功W；
（3）取无穷远处为零势能点，月球引力范围内质量为m的物体具有的引力势能，式中G为万有引力常量，为月球的质量，r为物体到月心的距离。若使“嫦娥三号”从月面脱离月球引力作用，忽略其它天体的影响，发射速度v₀至少多大？（用k、n、g、R表示）

Answer 1

（1）（2）（3）

试题分析：（1）嫦娥三号在地球上，根据万有引力定律有：
嫦娥三号在月球上，根据万有引力定律有：，又，解得
（2）嫦娥三号悬停时，由平衡条件可得 ，由上式可得：
嫦娥三号由悬停到落至月面，由功能关系有：，解得
（3）嫦娥三号从月面到无穷远处过程中，由能量守恒定律，有，由上述式子联立可得：