Question

（2005?宿迁三模）侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，已知地球半径为R，地面表面处的重力加速度为g，地球的自转周期为T．
（1）试求该卫星的运行速度；
（2）要使卫星在一天内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部拍下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机应拍摄地面上赤道圆周的弧长S是多少？

Answer 1

分析：（1）同步卫星和地球同步，其周期为地球自转的周期，根据万有引力提供向心力及万有引力和向心力的公式中的周期公式即可求解；
（2）摄像机只要将地球的赤道拍摄全，便能将地面各处全部拍摄下来；
根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出卫星周期．
由地球自转角速度求出卫星绕行地球一周的时间内，地球转过的圆心角，再根据弧长与圆心角的关系求解．

解答：解：（1）设地球质量为M，卫星质量为m，卫星在运行时，
由万有引力提供向心力：G

Mm

(R+h)2

=m

v2

R+h

…①
设地球表面有个质量为m₀的物体，则：m₀g=G

Mm0

R2

…②
由①②式联立，卫星的运行速度为：v=

R

R+h

g(R+h)

…③
（2）设卫星的运动周期为T′，由万有引力提供向心力，
则：G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T′

)2(R+h)…④
由②④两式，得：T′=

2π

R

(R+h)3 g

…⑤
一天内侦察卫星经过有日照的赤道上空次数为：N=

T

T′

…⑥
摄像机每次应拍摄地面上赤道圆周的弧长为：S=

2πR

N

…⑦
由⑤⑥⑦式，得：S=

4π2

T

(R+h)3 g

答：（1）该卫星的运行速度是v=

R

R+h

g(R+h)

；
（2）卫星上的摄像机应拍摄地面上赤道圆周的弧长S是

4π2

T

(R+h)3 g

点评：本题考查应用物理知识分析研究科技成果的能力，基本原理：建立模型，运用万有引力等于向心力研究．