Question

1．经过天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体组成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离（一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理）．现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是m，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动，已知引力常量为G．
（1）试计算该双星系统的运动周期T_计．
（2）若实际上观测到的运动周期为T_测，且T_测：T_计=1：$\sqrt{N}$（N＞1），为了解释T_测与T_计不同，目前有一种流行的理论认为在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质．我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，请根据上述观测结果确定该星系间暗物质的密度．

Answer 1

分析 （1）根据对称性可知，两颗星都绕系统中心做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列式求解；
（2）暗物质引力和星星引力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解出暗物质的质量，再求解密度．

解答 解：（1）双星均绕它们连线的中点做匀速圆周运动，其运动的周期为T_计算，由万有引力提供向心力，则有：
$G\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}=m•（\frac{2π}{{T}_{计}}）^{2}•\frac{L}{2}$
解得：T_计=$πL\sqrt{\frac{2L}{Gm}}$；
（2）根据观测结果，星体的运动周期为：T_测=$\frac{1}{\sqrt{N}}{T}_{计}$（N＞1）．
这种周期差异是由于双星间均匀分布的暗物质引起的．均匀分布双星系统内的暗物质对双星系统的作用，与一个质点（质点的质量等于球内暗物质的总质量m′且位于中点O处）的作用相同，考虑暗物体作用后双星系统的运动周期即为观测到的周期T_测，则有：
$G\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}+G\frac{mm′}{（\frac{L}{2}）^{2}}=m（\frac{2π}{{T}_{\frac{1}{3}测}}）^{2}•\frac{L}{2}$
代入T_计算=πL$\sqrt{\frac{2L}{Gm}}$，并整理得：m′=$\frac{N-1}{4}m$；
设所求暗物质的密度为ρ，则有：
ρ=$\frac{m′}{\frac{4}{3}π（\frac{L}{2}）^{3}}$=$\frac{3（N-1）m}{2π{L}^{3}}$
答：（1）该双星系统的运动周期T_计算为$πL\sqrt{\frac{2L}{Gm}}$；
（2）该星系间这种暗物质的密度为$\frac{3（N-1）m}{2π{L}^{3}}$．

点评 本题关键找出向心力来源，知道双星的向心力来自相互的万有引力，然后根据牛顿第二定律和向心力公式列方程研究．