Question

(20分)如图所示，接地的空心导体球壳内半径为R，在空腔内一直径上的P₁和P₂处，放置电量分别为q₁和q₂的点电荷，q₁＝q₂＝q，两点电荷到球心的距离均为a．由静电感应与静电屏蔽可知：导体空腔内表面将出现感应电荷分布，感应电荷电量等于－2q．空腔内部的电场是由q₁、q₂和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的．由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的，所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强．但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡献，可用假想的位于腔外的（等效）点电荷来代替（在本题中假想(等效)点电荷应为两个），只要假想的（等效）点电荷的位置和电量能满足这样的条件，即：设想将整个导体壳去掉，由q₁在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷与q₁共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0；由q₂在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷与q₂共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0．这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而且这样确定的等效电荷是唯一的．等效电荷取代感应电荷后，可用等效电荷、和q₁、q₂来计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强．

1．试根据上述条件，确定假想等效电荷、的位置及电量．

2．求空腔内部任意点A的电势U_A．已知A点到球心O的距离为r，与的夹角为θ ．

Answer 1

1．解法Ⅰ：

如图1所示，

S为原空腔内表面所在位置，的位置应位于的延长线上的某点B₁处，的位置应位于的延长线上的某点B₂处．设A₁为S面上的任意一点，根据题意有

                  (1)

     (2)

怎样才能使 (1) 式成立呢？下面分析图1中与的关系．

若等效电荷的位置B₁使下式成立，即

                          (3)

即                         (4)

则                 

有                        (5) 

由 (1)式和 (5)式便可求得等效电荷        

               (6)

由 (3) 式知，等效电荷的位置B₁到原球壳中心位置O的距离

                                  (7) 

同理，B₂的位置应使，用类似的方法可求得等效电荷

                (8) 

等效电荷的位置B₂到原球壳中心O位置的距离

                                  (9) 

解法Ⅱ：

在图1中，设，，．根据题意，和两者在A₁点产生的电势和为零．有

                                                               （1＇）

式中

                                                     （2＇）

                                    （3＇）

由（1＇）、（2＇）、（3＇）式得

                              （4＇）

（4＇）式是以为变量的一次多项式，要使（4＇）式对任意均成立，等号两边的相应系数应相等，即

                                   （5＇）

                                              （6＇）

由（5＇）、（6＇）式得

                                    （7＇）

解得                  （8＇）

由于等效电荷位于空腔外部，由（8＇）式求得

                                               （9＇）

由（6＇）、（9＇）式有

                 （10＇）

考虑到（1＇）式，有

                                             （11＇）

同理可求得

                                                               （12＇）

                                 （13＇）        

2．A点的位置如图2所示．

A的电势由q₁、、q₂、共同产生，即

               (10) 

                                          

因

             

    

代入 (10) 式得

                   

                (11)

评分标准：

本题20分．第1问18分，解法Ⅰ中(1)、(2)、(6)、(7)、(8)、(9) 式各3分．解法Ⅱ的评分可参考解法Ⅰ．

第2问2分，即(11)式2分．