Question

13．小伙伴在河岸做抛石子游戏．如图所示为河的横截面示意图，小亮自O点以垂直岸边的水平速度向对岸抛石子．已知O点离水面AB的高度为h，O、A两点间的水平距离为x₁，水面AB的宽度为x₂，河岸倾角为θ，重力加速度为g．
（1）若石子直接落到水面上，求其在空中飞行的时间t；
（2）为使石子直接落到水面上，求抛出时速度大小的v₀的范围；
（3）若石子质量为m，抛出速度大小为v时恰好在C点垂直撞击河坡，求石子从O到C过程中减少的重力势能△E_P．

Answer 1

分析 （1）依据平抛竖直方向做自由落体运动可得飞行时间；
（2）依据水平位移可判定速度范围；
（3）依据石子在C点垂直撞击斜坡，即石子瞬时速度在C点与斜坡垂直，可求飞行时间，进而得到下落高度，求出减少的重力势能．

解答 解：（1）若石子直接落到水平上，根据平抛运动竖直方向分运动可看作自由落体运动可得：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得：
$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$．
（2）抛出时速度的大小范围是：
x₁≤v₀t≤x₁+x₂，
解得：
${x}_{1}\sqrt{\frac{g}{2h}}≤{v}_{0}≤{（x}_{1}+{x}_{2}）\sqrt{\frac{g}{2h}}$．
（3）由题意可知，石子在C点垂直撞击斜坡，即石子瞬时速度在C点与斜坡垂直，根据几何关系可得：
$\frac{v}{g{t}_{0}}=tanθ$，
即：
${t}_{0}=\frac{v}{gtanθ}$，
石子O点到C点下降的高度为：$H=\frac{1}{2}g{{t}_{0}}^{2}=\frac{{v}^{2}}{2gta{n}^{2}θ}$
石子从O到C过程中减少的重力势能为：$△{E}_{P}=mgH=\frac{{mv}^{2}}{2ta{n}^{2}θ}$．
答：（1）若石子直接落到水面上，求其在空中飞行的时间$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$；
（2）为使石子直接落到水面上，求抛出时速度大小的v₀的范围${x}_{1}\sqrt{\frac{g}{2h}}≤{v}_{0}≤{（x}_{1}+{x}_{2}）\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（3）若石子质量为m，抛出速度大小为v时恰好在C点垂直撞击河坡，求石子从O到C过程中减少的重力势能$\frac{m{v}^{2}}{2ta{n}^{2}θ}$．

点评 该题的重点是掌握平抛运动的规律，要能够巧妙利用平抛打在斜面上的速度方向关系，这个是解决平抛与斜面结合的关键点．