Question

如图所示，宽为L=2m、足够长的金属导轨MN和M′N′放在倾角为θ=30°的斜面上，在N和N′之间连有一个0.8Ω的电阻R．在导轨上AA′处放置一根与导轨垂直、质量为m=0.8kg、电阻r=0.8Ω的金属滑杆，导轨的电阻不计．用轻绳通过定滑轮将电动小车与滑杆的中点相连，绳与滑杆的连线平行于斜面，开始时小车位于滑轮的正下方水平面上的P处（小车可视为质点），滑轮离小车的高度H=4.0m．在导轨的NN′和OO′所围的区域存在一个磁感应强度B=1.0T、方向垂直于斜面向上的匀强磁场，此区域内滑杆和导轨间的动摩擦因数为μ=

3

4

，此区域外导轨是光滑的（取g=10m/s²）．若电动小车沿PS以v=1.2m/s的速度匀速前进时，滑杆由AA′滑到OO’位置过程中，通过电阻R的电量q=1.25C．g取10m/s²，求：

（1）位置AA′到OO′的距离d；
（2）若滑杆在细绳作用下通过OO′位置时加速度为a=2m/s²；求此时细绳拉力；
（3）若滑杆运动到OO′位置时绳子突然断了，设导轨足够长，若滑杆返回到AA′后恰好做匀速直线运动，求从断绳到滑杆回到AA′位置过程中，电阻R上产生的热量Q为多少？

Answer 1

分析：（1）金属棒从静止开始做匀加速直线运动，由位移公式可求出上滑的位移．由

.

E

=

△Φ

△t

、I=

E

R+r

、q=I△t，出电量q．
（2）由速度公式求出金属棒通过CC′时的速度大小v，此时感应电动势为E=BLv，感应电流为I=

E

R+r

，金属杆受到的安培力大小为BIL，根据牛顿第二定律求解外力F的大小．
（3）对金属棒运用动能定理求得克服安培力做功，即等于金属棒放出的热量Q．

解答：解：（1）滑杆由AA’滑到OO’的过程中切割磁感线，产生的平均感应电动势为：

.

E

=

△Φ

△t

=

BLd

△t

．
平均电流为：I=

E

R+r

，
通过电阻R的电荷量为：q=I△t
联立解得：d=

q(r+R)

BL

．
代入数据得：d=1m．
（2）滑杆运动到OO'位置时，小车通过S点时的速度为v=1.2m/s，设系绳与水平面的夹角α，则：

H

sinα

-H=d，
解得：sinα=

H

H+d

=0.8，α=53°
小车的速度可视为绳端沿绳伸长方向的速度与垂直于绳长方向的速度的合速度，此时滑杆向上的速度即绳端沿绳长方向的速度为：v₁=vcosα=0.72m/s
 滑杆通过OO’位置时产生的电动势为：E=BLv₁
产生的感生电流为：I=

E

R+r

=

BLv1

R+r

  
滑杆受到的安培力为：F安=BIL=

B2L2v

R+r

代入数据得：F_安=0.18N 
滑杆通过OO’位置时所受摩擦力：
f=μmgcosθ=

3

4

×0.8×10×

3

2

=3N．
由F-mgsinθ-f-F_安=ma，
解得：F=10.4N
（3）滑杆运动到OO'位置时绳子突然断了，滑杆将继续沿斜面上滑，由机械能守恒，可知它再通过OO'的速度大小为0.72m/s，滑杆运动到AA'位置后做匀速运动的速度设为v₂，有：
mgsinθ=μmgcosθ+

B2L2v2

R+r

代入数据得：v₂=0.4m/s
滑杆从OO'滑到AA'的过程中机械能转换成电能最终转化成电热，由功能关系有：Q=

1

2

m(

v

2 1

-

v

2 2

)+mgdsinθ-μmgdcosθ
代入数据，可得：Q=1.14J
QR=

R

R+r

Q=0.57J
答：（1）位置AA′到OO′的距离为1m；
（2）若滑杆在细绳作用下通过OO′位置时加速度为a=2m/s²；此时细绳拉力为10.4N；
（3）电阻R上产生的热量为0.57J．

点评：本题要掌握两个经验公式：感应电量q=n

△Φ

R+r

和安培力F安=

B2L2v

R+r

．此题从力和能量两个角度进行研究．