Question

【题目】如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L，已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常数为G。

（1）求两星球做圆周运动的周期；

（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期为。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得运行周期记为。已知地球和月球的质量分别为和。求与两者平方之比（结果保留三位小数）。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力大小相等，且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期，因此有：

联立解得：

对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得：

化简得：

（2）将地月看成双星，由（1）得

将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得：

化简得：

所以两种周期的平方比值为：