Question

16．随着航天技术的不断发展，人类宇航员可以乘航天器登陆一些未知星球．一名字航员在登陆某星球后为了测量此星球的质量进行了如下实验：他把一小钢球从距星球表面高度为h处以水平速度v₀抛出，测得落地点与抛出点间的水平距离为S．此前通过天文观测测得此星球的半径为R，已知万有引力常量为G，不计小钢球下落过程中的气体阻力，可认为此星球表面的物体受到的重力等于物体与星球之间的万有引力．求：
（1）此星球表面的重力加速度g；
（2）此星球的质量M；
（3）距离此星球表面高H的圆形轨道上的卫星．绕此星球做匀速园周运动的周期T．

Answer 1

分析 （1）根据$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得出星球表面的重力加速度．
（2）根据万有引力等于重力求出星球的质量．
（3）根据万有引力提供向心力，结合万有引力等于重力求出卫星在圆形轨道上运行的周期．

解答 解：（1）做平抛运动的物体在竖直方向做自由落体运动，由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$．
（2）根据星球表面的物体受到的万有引力近似等于其重力，则：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}=\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$．
（3）根据万有引力提供向心力得，$G\frac{Mm}{（R+H）^{2}}=m（R+H）（\frac{2π}{T}）^{2}$
又GM=gR²
解得$T=\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{g{R}^{2}}}$．
因为g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$．
所以T=$\sqrt{\frac{2{π}^{2}{（R+H）}^{3}{t}^{2}}{h{R}^{2}}}$．
答：（1）此星球表面的重力加速度g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$．
（2）此星球的质量为$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$．
（3）卫星的运行周期为$\sqrt{\frac{2{π}^{2}{（R+H）}^{3}{t}^{2}}{h{R}^{2}}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．