Question

19．如图将倾角θ=30°表面粗糙的斜面固定在地面上，用一根轻质细绳跨过两个光滑的半径很小的滑轮连接甲、乙两物体（视为质点），把甲物体放在斜面上且细绳与斜面平行，把乙物体悬在空中，并使细绳拉直且偏离竖直方向α=60°．开始时甲、乙均静止．现同时释放甲、乙两物体，乙物体将在竖直平面内往返运动，测得绳长OA为L=0.5m，当乙物体运动经过最高点和最低点时，甲物体在斜面上均恰好未滑动，已知乙物体的质量为m=lkg，忽略空气阻力，g=l0m/s²．求：
（1）乙物体运动到最低点时速度的大小及绳子拉力的大小（结果可用根式表示）．
（2）甲物体的质量以及斜面对甲物体的最大静摩擦力的大小．
（3）斜面与甲物体之间的动摩擦因数（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，保留两位有效数字）

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出乙物体运动到最低点的速度，在最低点，拉力和重力的合力提供圆周运动的向心力．
（2）乙物体摆到最低点时拉力最大，摆到最高点时拉力最下，知乙物体摆到最低点时，甲物体达到向下的最大静摩擦力，摆到最高点时，甲物体有向上的最大静摩擦力．分别求出乙物体在最高点和最低点绳子的拉力，然后对甲物体列出平衡方程，解出甲物体的质量和最大静摩擦力大小．
（3）根据f=μF_n求出斜面与甲物体的动摩擦因数．

解答 解：（1）根据动能定理，得：
mgL（1-cosα）=$\frac{1}{2}$mv²
代入数据，则：v=$\sqrt{5}$m/s
根据牛顿第二定律，有：T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
则T=mg+m$\frac{{v}^{2}}{L}$=10+1×$\frac{5}{0.5}$N=20N
故乙物体摆到最低点的速度为$\sqrt{5}$m/s，此时绳子的拉力为20N．
（2）物体摆到最低点时绳子的拉力F₁=20N
物体摆到最高点时有：mgcosα=F₂=5N．
对甲物体有：F₁=f_m+m_甲gsinθ
F₂+f_m=m_甲gsinθ
联立两式解得：f_m=7.5N，m_甲=2.5kg
（3）最大静摩擦力等于滑动摩擦力．则有f_m=μmgcosθ
所以μ=$\frac{{f}_{m}}{{m}_{甲}gcosθ}$=$\frac{7.5}{25×\frac{\sqrt{3}}{2}}$≈0.35
故斜面与甲物体之间的动摩擦因数μ为0.35；
答：（1）乙物体运动到最低点时速度的大小及绳子拉力的大小（结果可用根式表示）．
（2）甲物体的质量以及斜面对甲物体的最大静摩擦力的大小．
（3）斜面与甲物体之间的动摩擦因数为0.35．

点评 解决本题的关键知道乙物体摆到最低点时有最大拉力，摆到最高点时有最小拉力．以及知道在乙物体摆到最低点时有沿斜面向下的最大静摩擦力，摆到最高点时有沿斜面向上的最大静摩擦力．