Question

4．已知某星球的质量是地球质量的81倍，半径是地球半径的9倍，在地球上发射一颗卫星，其第一宇宙速度为7.9km/s，则在某星球上发射一颗人造卫星，其发射速度最小是多少？

Answer 1

分析 建立模型：卫星绕地球做匀速圆周运动，地球对卫星的万有引力提供向心力．推广到其他球星．根据此模型，利用比例法求星球上发射人造卫星最小发射速度．

解答 解：设地球质量为M₁，半径为R₁；某星球的质量为M₂，半径为R₂
由万有引力定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
故地球和该星球第一宇宙速度之比为：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{M}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}{M}_{2}}}$=$\sqrt{\frac{9}{81}}$=$\frac{1}{3}$
则在该星球上发射人造卫星速度至少为：v₂=3v₁=23.7km/s
答：在该星球上发射一颗人造卫星，其发射速度最小是23.7km/s．

点评 本题是卫星类型问题，关键是要建立物理模型，运用万有引力定律和向心力知识，加上数学变换来求解．