Question

14．如图所示，第一、四象限内存在一匀强电场，其方向如图所示．第二象限内有垂直纸面向外磁感应强度为B的匀强磁场，一个质量为m，电荷量为+q（不计重力） 的带电粒子从x轴上的A点以初速度v₀沿垂直于磁感线方向进入匀强磁场中，初速度方向与x轴负方向的夹角θ=30°粒子恰好从 y轴上的P点垂直于电场线的方向射入匀强电场，经过x轴上的C点再到达 y轴上的D点，已知AO=OC（P、D两点图中未标出 ），
求：
（1）匀强电场的电场强度E的大小；
（2）粒子到达D点的速度大小及从A运动到D所用的时间．

Answer 1

分析 （l）粒子在磁场中做的是匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨迹半径．粒子进入电场后做类平抛运动，在竖直方向上做的是匀加速直线运动，根据粒子匀加速运动的位移可以求得匀强电场的场强的大小；
（2）根据平行于电场线和垂直于电场线两个方向的分位移公式，求出分位移，得到时间，由动能定理求粒子到达D点的速度大小．
在磁场中，根据粒子的运动的轨迹可以求得粒子的运动的时间，即可得到总时间．

解答  解：（1）设粒子在磁场中圆周运动的半径为R．
由牛顿第二定律得 qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，则 R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$
在电场中，粒子做类平抛运动，沿电场线方向有分位移：y=R=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
根据牛顿第二定律得 a=$\frac{qE}{m}$
平行于电场线方向有 x=2Rcos30°=v₀t；
由以上各式联立得 E=$\frac{2B{v}_{0}}{3}$．
（2）平行于电场线方向的位移 y=$\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$
垂直于电场线方向的位移 x=ytan30°=v₀t₂；
联立得 y=$\frac{9m{v}_{0}}{qB}$，t₂=$\frac{3\sqrt{3}m}{qB}$
由动能定理得
  qEy=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v=$\sqrt{13}{v}_{0}$
故从A运动到D所用的时间为 t=$\frac{1}{2}T$+t₂=$\frac{πm}{qB}$+$\frac{3\sqrt{3}m}{qB}$=$\frac{m}{qB}$（$π+3\sqrt{3}$）
答：
（1）匀强电场的电场强度E的大小为$\frac{2B{v}_{0}}{3}$；
（2）粒子到达D点的速度大小为$\sqrt{13}{v}_{0}$，从A运动到D所用的时间为$\frac{m}{qB}$（$π+3\sqrt{3}$）．

点评 粒子先做的是匀速圆周运动，后在电场中做类平抛运动，根据匀速圆周运动和类平抛运动的规律可以分别求得．