Question

1．如图所示，磁感应强度大小B=0.3T、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径R=0.20m的圆形区域内，圆的水平直径上方竖直分界线MN的左侧有水平向右的匀强电场，竖直分界线PQ右侧有水平向左的匀强电场，电场强度大小均为E=4$\sqrt{3}$×10⁴V/m，在圆的水平直径AOC的A点有一粒子源，同时沿直径AO方向射出速度分别为v₁=$\sqrt{3}$×10⁶m/s和v₂=3$\sqrt{3}$×10⁶m/s的带正电的两个粒子，如果粒子的比荷$\frac{q}{m}$=5.0×10⁷C/kg，且不计粒子重力及粒子间的相互作用．求：
（1）两个粒子分别离开磁扬后进人电场时的位置到圆形磁场水平直径的距离；
（2）两个粒子第二次到达电杨边界时的位置到圆形磁场水平直径的距离．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出运动轨迹，利用半径公式和几何关系求出圆心角及到直径的距离．
（2）粒子进入电场处理方法类似处理类平抛，分解为垂直电场线的匀速运动和平行电场线的匀变速直线运动，利用运动学规律求出垂直电场线位移和时间，最后在利用几何关系得出结论．

解答 解：（1）两个粒子沿直径进入圆形磁场，做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$R=\frac{mv}{qB}$
速度${v}_{1}^{\;}$的粒子半径为${R}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{1}^{\;}}{qB}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{B\frac{q}{m}}=\frac{\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{6}}{0.3×5.0×1{0}_{\;}^{7}}=\frac{\sqrt{3}}{15}m$
速度${v}_{2}^{\;}$的粒子半径为${R}_{2}^{\;}=\frac{m{v}_{2}^{\;}}{qB}=\frac{{v}_{2}^{\;}}{B\frac{q}{m}}=\frac{3\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{6}}{0.3×5.0×1{0}_{\;}^{7}}=\frac{\sqrt{3}}{5}m$
画出运动的轨迹图，如图
根据几何关系，圆弧1所对的圆心角为${θ}_{1}^{\;}$，$tan\frac{{θ}_{1}^{\;}}{2}=\frac{{R}_{1}^{\;}}{R}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{15}}{0.2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$可知${θ}_{1}^{\;}=60°$
离开磁场进入左侧电场的位置到圆形磁场水平直径的距离设为${l}_{1}^{\;}$，$tan{θ}_{1}^{\;}=\frac{{l}_{1}^{\;}}{R}$
解得：${l}_{1}^{\;}=Rtan{θ}_{1}^{\;}=Rtan60°=\frac{\sqrt{3}}{5}m$
圆弧2所对的圆心角为${θ}_{2}^{\;}$，$tan\frac{{θ}_{2}^{\;}}{2}=\frac{{R}_{2}^{\;}}{R}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{5}}{0.2}=\sqrt{3}$可知${θ}_{2}^{\;}=120°$
射出方向与直径的OC成60°夹角，根据对称性粒子射进右侧磁场，距离水平直径的距离${l}_{2}^{\;}=\frac{\sqrt{3}}{5}m$
（2）根据牛顿第二定律，Eq=ma
得$a=\frac{Eq}{m}=4\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{4}×5×1{0}_{\;}^{7}=2\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{12}$$m/{s}_{\;}^{2}$
将运动分解为垂直电场线和平行于电场线进行处理
垂直电场线方向匀速运动：${v}_{⊥}^{\;}={v}_{1}^{\;}cos30°=1.5×1{0}_{\;}^{6}m/s$
平行电场线方向匀变速直线运动：${v}_{∥}^{\;}={v}_{1}^{\;}sin30°=\frac{\sqrt{3}}{2}×1{0}_{\;}^{6}m/s$
运动时间${t}_{1}^{\;}=2\frac{{v}_{∥}^{\;}}{a}=5×1{0}_{\;}^{-7}s$
垂直电场线位移${l}_{1}^{′}={v}_{⊥}^{\;}{t}_{1}^{\;}=0.75m$
粒子1第二次到达磁场边界的位置距离圆形磁场水平直径的距$△{x}_{1}^{\;}={l}_{1}^{\;}+{l}_{1}^{′}=（\frac{\sqrt{3}}{5}+0.75）m$
粒子2到达右侧磁场运动规律和粒子1相似
垂直电场线：${v}_{⊥}^{\;}={v}_{2}^{\;}cos30°=3\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{6}×\frac{\sqrt{3}}{2}=4.5×1{0}_{\;}^{6}m/s$
平行电场线：${v}_{∥}^{\;}={v}_{2}^{\;}sin30°=\frac{3\sqrt{3}}{2}×1{0}_{\;}^{6}m/S$
运动时间：${t}_{2}^{\;}=2\frac{{v}_{∥}^{\;}}{a}=1.5×1{0}_{\;}^{-7}s$
垂直电场线位移：${l}_{2}^{'}={v}_{⊥}^{\;}{t}_{2}^{\;}=0.675m$
粒子2第二次到达磁场边界的位置距离圆形磁场水平直径的距离$△{x}_{2}^{\;}={l}_{2}^{\;}+{l}_{2}^{′}=（\frac{\sqrt{3}}{5}+0.675）m$
答：（1）两个粒子分别离开磁扬后进人电场时的位置到圆形磁场水平直径的距离均为$\frac{\sqrt{3}}{5}m$；
（2）两个粒子第二次到达电杨边界时的位置到圆形磁场水平直径的距离（$\frac{\sqrt{3}}{5}+0.75$）m和（$\frac{\sqrt{3}}{5}+0.675$）m．

点评 本题考查带电粒子在圆形磁场中的运动，关键是求出半径，画出轨迹．注意进磁场时沿半径，出磁场时必定沿半径，在电场中通常运用运动的合成与分解的方法，分解为平行于电场和垂直于电场进行处理．