Question

如图，AC、BC两绳长度不等，一质量为m=0.1kg的小球被两绳拴住在水平面内做匀速圆周运动．已知AC绳长l=2m，两绳都拉直时，两绳与竖直方向的夹角分别为30°和45°．问小球的角速度在什么范围内两绳均张紧？当ω=3rad/s时，上下两绳拉力分别为多少？

Answer 1

分析：当AC绳拉直但没有力时，BC绳子拉力的水平分力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求出此时的角速度，当BC绳拉直但没有力时，AC绳子拉力的水平分力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求出角速度，当角速度处于两者之间时，两绳均张紧；
当ω=3rad/s时，AC、BC绳子拉力的水平分力的合力提供向心力，竖直方向分力之和与重力平衡，根据牛顿第二定律列式求解．

解答：解：当AC绳拉直但没有力时，即F_T1=0时，由重力和绳BC的拉力F_T2的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
mgtan45°=mωmax2r
其中：r=l?sin30° 
解得：ω_max=3.16 rad/s
当F_T2恰为零时，根据牛顿第二定律，有：
mgtan30°=mωmin2r
解得：ω_min=2.4 rad/s
所以当2.4 rad/s＜ω＜3.16 rad/s时两绳均张紧．
当ω=3 rad/s时，两绳均处于张紧状态，此时小球受F_T1、F_T2、mg三力作用，正交分解后可得：
水平方向：F_T1sin30°+F_T2sin45°=mlsin30°ω²
竖直方向：F_T1cos30°+F_T2cos45°=mg          
代入数据后解得：
F_T1=0.27 N
F_T2=1.09 N
答：小球的角速度在2.4 rad/s＜ω＜3.16 rad/s范围内两绳均张紧，当ω=3rad/s时，AC绳拉力为0.27N，BC绳拉力1.09N．

点评：本题中球做匀速圆周运动，拉力的水平分力提供向心力，关键受力分析后根据牛顿第二定律列式求解．