Question

如图15所示，AB和CDO都是处于竖直平面内的光滑圆弧形轨道，OA处于水    平位置。AB是半径为R＝2m的1／4圆周轨道，CDO是半径为r＝1m的半圆轨道，最高点O处固定一个竖直弹性档板。D为CDO轨道的中央点。BC段是水平粗糙轨道，与圆弧形轨道平滑连接。已知BC段水平轨道长L＝2m，与小球之间的动摩擦因数μ＝0．4。现让一个质量为m＝1kg的小球P从A点的正上方距水平线OA高H处自由落下。（取g＝10m／s²）

（1）当H＝1．4m时，问此球第一次到达D

点对轨道的压力大小。

（2）当H＝1．4m时，试通过计算判断此球是否会脱离CDO轨道。如果会脱离轨道，求脱离前球在水平轨道经过的路程。如果不会脱离轨道，求静止前球在水平轨道经过的路程。

Answer 1

解析：（1）设小球第一次到达D的速度V_D

P到D点的过程对小球列动能定理：

mg(H+r)- μmgL=mV_D²/2      2分

在D点对小球列牛顿第二定律：F_N= mV_D²/r    1分

联立解得：F_N=32N     1分

（2）第一次来到O点，速度V₁      

P到O点的过程对小球列动能定理：

mgH-μmgL=mV₁²/2

解得：V₁²=12               

要能通过O点，须mg<mV²/r

临界速度V_O²=10             

故第一次来到O点之前没有脱离

设第三次来到D点的动能E_K

对之前的过程列动能定理：

mg(H+r)- 3μmgL= E_K

代入解得：E_K=0              

故小球一直没有脱离CDO轨道  

设此球静止前在水平轨道经过的路程S

对全过程列动能定理：

mg(H+R）-μmgS=0

解得：S=8.5m