Question

如图所示在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ、II象限存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，第 III、Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上距原点O为d的P点以速度v₀垂直于y轴射入第Ⅰ象限的电场，经x轴射入磁场，已知E=

m v 2 0

2qd

，B=

mv0

2qd

．不计粒子重力，求：
（1）粒子在磁场中运动的半径，画出带电粒子运动的轨迹．
（2）从粒子射入电场开始，求粒子经过x轴时间的可能值．

Answer 1

分析：（1）带电粒子射入电场中作类平抛运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出粒子进入磁场时速度大小和方向．带电粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力作匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出轨迹半径，根据圆的对称性画出轨迹．
（2）粒子在第Ⅰ象限的电场中运动的时间t1=

2d

v0

，在磁场中运动的周期由T=

2πm

qB

，根据轨迹的圆心角得到带电粒子在磁场中运动的时间，带电粒子在第第 II象限的电场中运动的时间t3=

2d

v0

，根据周期性得到故带电粒子经过x轴正半轴和负半轴时间的可能值．

解答：解：（1）带电粒子射入电场中作类平抛运动，由牛顿第二定律，有  a=

qE

m

=

v 2 0

2d

…①
由类平抛运动的特点，竖直方向上作初速度为零的匀加速运动，有 
  d=

1

2

at2…②
  v_y=at…③
水平方向上作匀速直线运动，有  x=v₀t…④
设合速度与水平方向的夹角为θ，由合速度与分速度的关系得  tanθ=

vy

v0

…⑤
   v=

v 2 x + v 2 y

…⑥
以上六式联立可得：x=2d，v=

2

v0，θ=

π

4

．
带电粒子在磁场中作匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力qvB=

mv2

r

…⑦
代入可得：r=2

2

d…⑧
由几何关系可确定出带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心在y轴下方2d处，根据圆的对称性，粒子出磁场时的速度和距离与入磁场时对称，带电粒子进入第 II象限作斜抛运动，运动情况跟在第一像限对称，故可画出带电粒子运动的轨迹．
（2）由上问知粒子在第Ⅰ象限的电场中运动的时间t1=

2d

v0

…①，
在磁场中运动的周期由：T=

2πm

qB

，
带电粒子在磁场中运动的时间为：t2=

3T

4

=

3πm

2qB

=

3πd

v0

…②，
带电粒子在第第 II象限的电场中运动的时间：t3=

2d

v0

…③，
故带电粒子经过x轴正半轴时间的可能值为：t=n(t1+t2+t3)+t1=

n(3π+4)d

v0

+

2d

v0

（n=0、1、2、3…）…④．
带电粒子经过x轴负半轴时间的可能值为：t=n(t1+t2+t3)+t1+t2=

n(3π+4)d

v0

+

(2+3π)d

v0

（n=0、1、2、3…）…⑤．
答：
（1）粒子在磁场中运动的半径为2

2

d，轨迹如答图所示．
（2）带电粒子经过x轴正半轴时间的可能值为t=n(t1+t2+t3)+t1=

n(3π+4)d

v0

+

2d

v0

（n=0、1、2、3…）．
带电粒子经过x轴负半轴时间的可能值为t=n(t1+t2+t3)+t1+t2=

n(3π+4)d

v0

+

(2+3π)d

v0

（n=0、1、2、3…）．

点评：本题中运用运动的分解法研究类平抛运动，画轨迹研究粒子在磁场中圆周运动，是常用的方法，难点是根据周期性，得到粒子经过x轴的时间，考查运用数学方法解决物理问题的能力．