Question

（2012?蚌埠模拟）如图甲所示的坐标系Oxy，一、四象限内有磁感应强度为B、方向垂直于Oxy平面向里的匀强磁场，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板右端位于y轴上，极板长度和板间距均为l，P，Q极板间加如图乙所示的电压．位于极板在左侧的粒子源沿x轴向右连续发射速度相同、重力不计的带正电粒子，已知t=t_p时刻（U_PQ=U_O）发出的粒子恰好在2t_O时刻经极板边缘飞出电场，不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况，不考虑极板边缘的影响，上述B、l、U_O、t_O均为已知量．
（1）求粒子的比荷q/m；
（2）若t=0时刻从粒子源发出的粒子在进入磁场后到达y轴上的M点，求M点的坐标；
（3）若t时刻（0＜t＜t_O）从粒子源发出的粒子在进入磁场后到达y轴上的N点，设N点与第（2）问中M点之间的距离为D，试求D与t的函数关系．

Answer 1

分析：（1）t=t₀时刻进入两极板的带电粒子在电场中做类平抛运动．由题知道x方向位移为l，y方向位移为

l

2

运用运动的分解，根据牛顿第二定律和运动学公式求解粒子的比荷q/m．
（2）若t=0时刻发出的粒子在电场中做匀速直线运动，进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力求出半径，即可求出M点坐标．
（3）t时刻发出的粒子，在电场中运动的总时间为t₀，粒子先做匀速运动，速度为v₀，运动时间为（t₀-t），再做类平抛运动，后在磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹，根据几何关系即可求解．

解答：解：（1））t=t₀时刻进入两极板的带电粒子在电场中做类平抛运动，运动时间为t₀，则
竖直方向：

l

2

=

1

2

at02    ①
a=

qU0

ml

      ②
①②联立解得：

q

m

=

l2

U0t02

    ③
（2）t=0时刻发出的粒子在电场中做匀速直线运动，速度大小为v0=

l

t0

   ④
进入磁场后做匀速圆周运动，设半径为R₁
根据洛伦兹力提供向心力得：m

v02

R1

=Bqv0  ⑤，
③④⑤联立得：R1=

U0t0

Bl

，⑥
故M点的坐标为（0，

2U0t0

Bl

）
（3）t时刻发出的粒子，在电场中运动的总时间为t₀，粒子先做匀速运动，速度为v₀，运动时间为（t₀-t），再做类平抛运动，运动时间为t₀．设粒子离开电场时的偏转位移为y，偏转角度为θ，进入磁场时的速度为v，在磁场中的轨迹半径为R₂．如图所示，

根据几何关系有：D+2R₂cosθ=2R₁+y   ⑦
cosθ=

v0

v

      ⑧
R2=

mv

Bq

=

mv0

qBcosθ

=

R1

cosθ

    ⑨
⑦⑧⑨联立得：D=y       ⑩
又y=

1

2

at2且有①式得：a=

l

t02

   （11）
⑩（11）联立得：D=

l

2t02

t2
答：（1）粒子的比荷

q

m

=

l2

U0t02

；
（2）M点的坐标（0，

2U0t0

Bl

）；
（3）D与t的函数关系D=

l

2t02

t2．

点评：本题考查带电粒子在匀强磁场和匀强电场中的运动，要掌握住半径公式、周期公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了．