Question

15．如图所示，水平如图1所示，纸面表示竖直平面，过P点的竖直线MN左侧空间存在水平向右的匀强电场，右侧存在竖直向上的匀强电场，两个电场的电场强度大小相等．一个质量为m、带电量为+q的小球从O点开始以竖直向上的速度v₀抛出，恰能水平地通过P点，到达P点时的速度大小仍为v₀．从小球到达P点时起，在空间施加一个垂直纸面向外的周期性变化的磁场，磁感应强度随时间变化的图象如图2所示（其中t₁、t₂为未知的量，t₂＜$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$），同时将P点左侧的电场保持大小不变而方向改为竖直向上，经过一段时间又后，小球恰能竖直向上经过Q点，已知P、Q点处在同一水平面上，间距为L．（重力加速度为g）

（1）求OP间的距离；
（2）如果磁感应强度B₀为已知量，试写出t₁的表达式；（用题中所给的物理量的符号表示）
（3）如果小球从通过P点后便始终能在电场所在空间做周期性运动，但电场存在理想的右边界M′N′（即M′N′的右侧不存在电场），且Q点到M′N′的距离为$\frac{L}{π}$．当小球运动的周期最大时：求此时的磁感应强度B₀及小球运动的最大周期T．

Answer 1

分析 （1）小球由O到P运动过程中，竖直方向做匀减速直线运动，水平方向做匀加速直线运动，用平均速度表示两个分位移，即可求出合位移OP的大小．
（2）小球在OP间运动过程，由牛顿第二定律和运动学规律分析得到电场力qE=mg，则知小球通过P点后，在0～t₁时间内沿水平方向做匀速直线运动，在t₁～（t₁+t₂）时间内做匀速率圆周运动．小球恰能竖直向上经过Q点，画出轨迹，可知${t}_{2}=\frac{3}{4}{T}_{0}$，可求出t₁的表达式．
（3）小球运动的速率始终不变，当R变大时，T₀也增加，在小球不飞出电场的情况下，当小球运动的周期T最大时，图1中圆轨迹右侧恰好跟M'N'相切，画出轨迹，由几何知识求出轨迹的半径，即可求解磁感应强度B₀及周期．

解答 解：（1）小球由O到P运动过程中，竖直方向做匀减速直线运动，水平方向做匀加速直线运动，令运动时间为t，由运动学规律有$t=\frac{{v}_{0}}{g}$，
水平位移为：$x=\frac{{v}_{0}+0}{2}t=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}$，
竖直位移we：$y=\frac{0+{v}_{0}}{2}t=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}$，
所求OP间距离we：s=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\frac{\sqrt{2}{{v}_{0}}^{2}}{2g}$．
（2）设电场强度的大小为E，考虑小球在OP间运动过程，由牛顿第二定律和运动学规律，
竖直方向：0=v₀-gt，
水平方向：v₀=at
qE=ma
可得：qE=mg
上式表明，小球通过P点后，在0～t₁时间内沿水平方向做匀速直线运动，在t₁～（t₁+t₂）时间内做匀速率圆周运动．
设小球在磁场中做圆周运动的周期为T₀，若竖直向上通过Q点，由图（1分）析可知必有以下两个条件：${t_2}=\frac{3}{4}{T_0}$
v₀t₁-L=R，其中R为圆周运动的轨道半径．
由牛顿第二定律和圆周运动规律有：$q{v_0}B=m\frac{v_0^2}{R}$${T_0}=\frac{2πR}{v_0}$
解得：${t_1}=\frac{L}{v_0}+\frac{m}{{q{B_0}}}$．
（3）小球运动的速率始终不变，当R变大时，T₀也增加，在小球不飞出电场的情况下，当小球运动的周期T最大时，图1中圆轨迹右侧恰好跟M′N′相切，为使小球从通过P点后能做周期性运动，小球运动一个周期的轨迹如图所示．需满足t₁=t₂．
有：$\frac{L}{π}=2R=2\frac{{m{v_0}}}{{q{B_0}}}$
解得：${B_0}=\frac{{2πm{v_0}}}{qL}$
而${T_0}=\frac{2πR}{v_0}=\frac{2πm}{{q{B_0}}}=\frac{L}{v_0}$
可知小球在电场中运动的最大周期：$T=8×\frac{{3{T_0}}}{4}=\frac{6L}{v_0}$．
答：（1）OP间的距离为$\frac{\sqrt{2}{{v}_{0}}^{2}}{2g}$；
（2）t₁的表达式为${t_1}=\frac{L}{v_0}+\frac{m}{{q{B_0}}}$．
（3）此时的磁感应强度为$\frac{2πm{v}_{0}}{qL}$，小球运动的最大周期为$\frac{6L}{{v}_{0}}$．

点评 本题带电粒子在复合场中运动的问题，小球的受力情况，确定研究方法，在重力与电场和复合场中运用分解法研究，在电场、重力场和磁场的复合场中画出轨迹，运用几何知识是基本方法．