Question

12．为了测量某行星的质量和半径，宇航员记录了登陆舱在该行星表面附近做圆周运动的周期T，登陆舱在行星表面着陆后，用弹簧称称量一个质量为m的砝码读数为N．已知引力常量为G．则下列计算中错误的是（　　）

• A． 该行星的质量为$\frac{{N}^{3}{T}^{4}}{16G{P}^{4}{m}^{3}}$
• B． 该行星的半径为$\frac{4{π}^{2}N{T}^{2}}{m}$
• C． 该行星的密度为$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． 该行星的第一宇宙速度为$\frac{NT}{2πm}$

Answer 1

分析 登陆舱在该行星表面做圆周运动，根据牛顿第二定律列式；在星球表面，用弹簧称称量一个质量为m的砝码读数为N，根据重力等于万有引力列式；联立求解出质量和半径；第一宇宙速度是星球表面轨道卫星的环绕速度．

解答 解：A、B、登陆舱在该行星表面做圆周运动，万有引力提供向心力，故：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R   ①
在星球表面，用弹簧称称量一个质量为m的砝码读数为N，故：
N=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$       ②
联立解得：
M=$\frac{{N}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}{Gm}^{3}}$
R=$\frac{N{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$
故A错误，B错误；
C、行星的密度：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{\frac{{N}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}{Gm}^{3}}}{\frac{4}{3}π（\frac{N{T}^{2}}{4{π}^{2}m}）^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$，故C正确；
D、第一宇宙速度是星球表面轨道卫星的环绕速度，故v=$\frac{2πR}{T}$=$\frac{2π（\frac{N{T}^{2}}{4{π}^{2}m}）}{T}$=$\frac{NT}{2πm}$，故D正确；
本题选错误的，故选：AB．

点评 对于卫星问题，关键值记住两点：卫星的万有引力提供向心力；在星球表面，重力等于万有引力．