Question

11．由不同介质制成的两个半径均为R的透明四分之一圆柱体Ⅰ和Ⅱ紧靠在一起，截面如图所示，圆心为O，顶部交点为D，以O为原点建立直角坐标系xoy．红色光束1从介质Ⅰ底部的A（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，0）点垂直于界面入射；红色光束2平行于y轴向下射入介质Ⅱ，入射点为B且∠BOD=60°．已知透明介质Ⅰ对红光的折射率n₁=$\sqrt{2}$，透明介质Ⅱ对红光的折射率n₂=$\sqrt{3}$．求：光束1经过柱面反射或折射后与y轴交点和光束2经柱体下底面折射后与y轴交点之间的距离．

Answer 1

分析 红光线1通过玻璃砖后不偏折．射到圆弧面上时根据入射角与临界角的大小，判断可知发生了全反射．光线2在圆柱面上的入射角为60°，根据折射定律求出折射角，由几何知识求出在底面上的入射角，再由折射定律求出折射角，作出光路图．根据几何关系求解即可．

解答 解：红光线1对介质 I的全反射临界角为：C₁=arcsin$\frac{1}{{n}_{1}}$=arcsin$\frac{1}{\sqrt{2}}$=45°
而光线1由A点入射后的入射角 i₁=60°＞45°，所以将会发生全反射，反射后恰好交y轴于D点（如图所示）．

设红光线2在B点发生的折射的折射角为r₂，由折射定律n₂=$\frac{sin{i}_{2}}{sin{r}_{2}}$得：
 sinr₂=$\frac{sin{i}_{2}}{{n}_{2}}$=$\frac{1}{2}$
所以：r₂=30°
光线2再传播到底部介面时入射角 i₃=30°
光线2对介质Ⅱ的全反射临界角为：C₂=arcsin$\frac{1}{{n}_{2}}$$\frac{\frac{1}{2}R}{cos30°}$=60°，所以不会发生全反射．
再由折射定律得：r₃=60°
设光线2射出后交y轴于P点：OP=$\frac{\frac{1}{2}R}{cos30°}$•tan30°=$\frac{1}{3}$R
所以所求的距离 d=DP=R+$\frac{1}{3}$R=$\frac{4}{3}$R
答：光束1经过柱面反射或折射后与y轴交点和光束2经柱体下底面折射后与y轴交点之间的距离为$\frac{4}{3}$R．

点评 本题的关键是掌握全反射的条件：光从光密介质射入光疏介质，入射角大于临界角，能正确作出光路图，运用几何知识辅助分析．