如图甲所示是利用涡流冶炼金属的感应炉示意图.冶炼炉内装入被冶炼的金属.线圈通上高频交变电流.这时被冶炼的金属中就产生很强的涡流.从而产生大量的热使金属熔化.这种冶炼方法速度快.温度容易控制.并能避免有害杂质混入被冶炼的金属中.因此适于冶炼特种合金和特种钢.其简化模型如图乙所示．假设金属环的阻值R=10πΩ.半径r=10cm.其外侧线圈中通以高频的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图甲所示是利用涡流冶炼金属的感应炉示意图，冶炼炉内装入被冶炼的金属，线圈通上高频交变电流，这时被冶炼的金属中就产生很强的涡流，从而产生大量的热使金属熔化，这种冶炼方法速度快，温度容易控制，并能避免有害杂质混入被冶炼的金属中，因此适于冶炼特种合金和特种钢，其简化模型如图乙所示．假设金属环的阻值R=10πΩ，半径r=10cm，其外侧线圈中通以高频的交流电，线圈中产生垂直于金属环所在平面的变化磁场，磁场的磁感应强度B随时间变化关系为B=0.1sin（4×10⁴t）（T）．不计温度变化对电阻的影响，计算结果可保留π．求：
（1）金属环中产生的感应电动势最大值；
（2）1s时间内金属环内产生的焦耳热；
（3）在磁场变化的0时刻到四分之一周期时间内，通过金属环截面的电荷量．

分析：（1）根据法拉第电磁感应定律为E=

△B

△t

求出感应电动势，由欧姆定律求出感应电流．画出电流图象．
（2）根据电流的热效应，求出此电流在一个周期通过阻值为R的电阻产生的热量，与直流相比较，求出有效值．然后根据焦耳定律求出热量．
（3）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律、电流与电量的关系式求解通过圆环的电荷量．

解答：解：（1）由于磁感应强度B随时间变化关系为B=0.1sin（4×10⁴t）（T），
所以金属环中的电动势：
e=

△Φ

△t

△B

△t

?S=0.1×4×104×π×0．12cos(4×104t)V=40πcos(4×104t)V
金属环中产生的感应电动势最大值是40πV
（2）金属环中产生的感应电动势有效值：E=

=20

πV
1s时间内金属环内产生的焦耳热：Q=

(20

π)2

10π

=80πJ
（3）在磁场变化的0时刻到四分之一周期时间内，磁通量从0增大到0.1T，
通过金属环截面的电荷量：q=

?△t=

△Φ

△t?R

?△t=

△B?S

0.1×π×0．12

10π

=1×10-4C
答：（1）金属环中产生的感应电动势最大值是40πV；
（2）1s时间内金属环内产生的焦耳热是80πJ；
（3）在磁场变化的0时刻到四分之一周期时间内，通过金属环截面的电荷量是1×10^-4C．

点评：本题运用法拉第电磁感应定律、欧姆定律和焦耳定律研究高频焊接的原理，抓住B-t的变化率是B对t的导数，即求出磁通量的变化率，得到感应电动势．根据有效值的定义求解有效值．求解电量的关键是掌握法拉第电磁感应定律E=

△Φ

△t

△BS

．，

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