Question

3． 在竖直平面内建立如图所示的平面直角坐标系，将一金属杆的OA部分弯成抛物线形状、AB部分为直线并与抛物线的A端相切，将弯好的金属抛物线的O端固定在坐标原点且与水平x轴相切，平面直角坐标系与金属抛物线共面．已知金属杆抛物线部分的方程为y=$\frac{5}{9}$x²，A点纵坐标为y_A=0.8m．一处于原长的轻弹簧穿在AB杆上，弹簧下端固定在B点．现将一质量m=0.2kg的物块（中间有孔）套在金属杆上，由O点以初速度v₀=5m/s水平抛出，到达A点时速度V_A=6m/s并继续沿杆下滑压缩弹簧到最低点C （图中未画出），然后物块又被弹簧反弹恰能到达A点．已知物块与金属杆间的动摩擦因数μ=$\frac{1}{6}$，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，空气阻力忽略不计．求：
（1）抛出的物块沿金属杆抛物线OA部分滑动时克服摩擦力做的功：
（2）上述过程中弹簧的最大弹性势能．

Answer 1

分析 （1）对O到A过程应用动能定理即可求解；
（2）对A到C到A整个过程应用动能定理求得摩擦力做的功，进而得到A到C过程摩擦力做的功；然后根据几何关系求得AB的倾斜角，进而得到A到C过程重力做的功，最后对A到C过程应用动能定理即可．

解答 解：（1）在抛物线OA部分滑动时只有重力、摩擦力做功，故由动能定理可得：克服摩擦力做的功为：
$W=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+mg{y}_{A}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}=0.5J$；
（2）物体从A到C，和从C到A克服摩擦力做的功W′相等，又有整个过程只有摩擦力、重力、弹簧弹力做功，故由动能定理可得：
$2W′=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}=3.6J$
解得：W′=1.8J；
由抛物线部分的方程为y=$\frac{5}{9}$x²，可知：x_A=1.2m
那么，AB的倾斜角为：$θ=arctan（\frac{10}{9}{x}_{A}）=arctan\frac{4}{3}=53°$；
所以，物体从A到C过程，摩擦力做功为：：W_f=-μmgcos53°•AC=-0.1mgAC=-W′=-1.8J
重力做功为：W_G=mgsin53°•AC=0.8mgAC=14.4J；
所以，对物体从A到C应用动能定理可得：弹簧的最大弹性势能${E}_{p}={W}_{G}+{W}_{f}+\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}=16.2J$；
答：（1）抛出的物块沿金属杆抛物线OA部分滑动时克服摩擦力做的功为0.5J；
（2）上述过程中弹簧的最大弹性势能为16.2J．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．