Question

如图所示，一半径R=0.2m的水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动，圆盘边缘有一质量m=1.0kg的小滑块．当圆盘转动的角速度达到某一数值时，滑块从圆盘边缘滑落，经光滑的过渡圆管（图中圆管未画出）进入轨道ABC．已知AB段为光滑的弧形轨道，A点离B点所在水平面的高度h=1.2m；BC斜面与AB轨道对接且倾角为37°，滑块与圆盘及BC斜面间的动摩擦因数均为μ=0.5，滑块在运动过程中始终未脱离轨道，不计在过渡圆管处和B点的机械能损失，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8
（1）当圆盘的角速度多大时，滑块从圆盘上滑落？
（2）求滑块到达B点时的机械能（取地面为零势能参考面）．
（3）从滑块到达B点时起，经0.6s正好通过C点，求BC之间的距离．

Answer 1

分析：（1）滑块做匀速圆周运动，指向圆心的静摩擦力力提供向心力，静摩擦力随着外力的增大而增大，当滑块即将从圆盘上滑落时，静摩擦力达到最大值，根据最大静摩擦力等于向心力列式求解，可以求出滑块即将滑落的临界角速度；
（2）先求出A点的速度，再根据机械能的表达式求解出B点的速度，进而求出在B点时的机械能；
（3）对滑块受力分析，分别求出向上滑行和向下滑行的加速度，然后根据运动学公式求解出BC间的距离．

解答：解：（1）滑块在圆盘上做圆周运动时，静摩擦力充当向心力，根据牛顿第二定律，可得：
μmg=mω²R
代入数据解得：ω=5rad/s
（2）滑块在A点时的速度：V_A=ωR=1m/s
滑块在从A到B的运动过程中机械能守恒：mgh+

1

2

mv_A²=

1

2

mv_B²   
解得：
v_B=5m/s     
在B点时的机械能E_B=

1

2

mv_B²=12.5J
（3）滑块沿BC段向上运动时的加速度大小：a₁=g（sin37°+μcos37°）=10m/s²
滑块沿BC段向上运动的时间：t₁=

vB

a1

=0.5s  小于题中所给时间，滑块会返回一段时间
向上运动的位移：S₁=

vB2

2a1

=1.25m
返回时的加速度大小：a₂=g（sin37°-μcos37°）=2m/s²    
 S₂=

1

2

a₂（t-t₁）²=0.01m
BC间的距离：s_BC=S₁-S₂=1.24m
答：（1）当圆盘的角速度为5rad/s时，滑块从圆盘上滑落；
（2）滑块到达B点时的机械能为12.5J（取地面为零势能参考面）．
（3）从滑块到达B点时起，经0.6s正好通过C点，BC之间的距离为1.24m．

点评：本题关键把物体的各个运动过程的受力情况和运动情况分析清楚，然后结合动能定理、牛顿第二定律和运动学公式求解．