Question

7．如图甲所示，竖直面MN的左侧空间存在竖直向上的匀强电场（上、下及左侧无边界）．一个质量为m、电量为q的可视为质点的带正电的小球，以大小为v₀的速度垂直于竖直面MN向右作直线运动．小球在t=0时刻通过电场中的P点，为使小球能在以后的运动中竖直向下通过D点（P、D间距为L，且它们的连线垂直于竖直平面MN，D到竖直面MN的距离DQ等于L/π），经过研究，可以在电场所在的空间叠加如图乙所示随时间周期性变化的、垂直纸面向里的磁场，设t0≤$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$且为未知量．求：

（1）场强E的大小；  
（2）如果磁感应强度B₀为已知量，试推出满足条件t₁的表达式；
（3）进一步的研究表明，竖直向下的通过D点的小球将做周期性运动．则当小球运动的周期最大时，求出磁感应强度B₀及运动的最大周期T的大小，并在图中定性画出此时小球运动一个周期的轨迹．

Answer 1

分析 （1）小球受到电场力与重力相平衡，即可求解；
（2）根据洛伦兹力提供向心力，结合几何关系，从而即可求解；
（3）小球运动的速率始终不变，当R变大时，T₀也增加，由周期公式结合长度关系，可求出磁感应强度，由运动轨迹，可求出最大周期．并画出运动轨迹．

解答 解：（1）小球进入电场，做匀速直线运动时有：Eq=mg…①
解得：E=$\frac{mg}{q}$…②
（2）在t₁时刻加磁场，小球在时间t₀内做匀速圆周运动，设圆周运动周期为T₀，半径为R．
竖直向下通过D点，则：t₀=$\frac{3}{4}$T₀…③
Bqv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…④
PF-PD=R
即v₀t₁-L=R…⑤
将③、④代入⑤式解得：
t₁=$\frac{L}{{v}_{0}}$+$\frac{m}{q{B}_{0}}$…⑥
（3）小球运动的速率始终不变，当R变大时，T₀也增加，小球在电场中的运动周期T也增加．
在小球不飞出电场的情况下，当T最大时，有：
DQ=2R
即$\frac{L}{π}$=$\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$…⑥
T₀=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$=$\frac{2πm}{{B}_{0}q}$…⑦
结合⑥⑦式解得：
B₀=$\frac{2πm{v}_{0}}{qL}$…⑧
T₀=$\frac{L}{{v}_{0}}$…⑨
结合轨迹图可知，小球在电场中运动的最大周期：
T=4×（$\frac{3{T}_{0}}{4}$+t₀）…⑩
结合上式解得：
T=$\frac{6L}{{v}_{0}}$
小球在电场中运动一个周期的轨迹图如图所示；

答：（1）场强E的大小E=$\frac{mg}{q}$；
（2）如果磁感应强度B₀为已知量，试推出满足条件t₁的表达式得：t₁=$\frac{L}{{v}_{0}}$₊$\frac{m}{q{B}_{0}}$；
（3）磁感应强度B₀及运动的最大周期T的大小：T=$\frac{6L}{{v}_{0}}$，小球运动一个周期的轨迹如上图所示．

点评 考查粒子受到电场力与洛伦兹力作用，涉及匀速直线运动与匀速圆周运动，掌握平衡方程与牛顿第二定律的方程，注意几何知识在题中的应用，并掌握运动轨迹的对称性．