Question

如图所示，半径为L₁=2 m的金属圆环内上、下两部分各有垂直圆环平面的有界匀强磁场，磁感应强度大小均为B₁=10/π T，长度也为L₁、电阻为R的金属杆ab，一端处于圆环中心，另一端恰好搭接在金属环上，绕着a端做逆时针方向的匀速转动，角速度为ω=π/10 rad/s。通过导线将金属杆的a端和金属环连接到图示的电路中（连接a端的导线与圆环不接触，图中的定值电阻R₁=R，滑片P位于R₂的正中央，R₂=4R），图中的平行板长度为L₂=2 m，宽度为d=2 m。当金属杆运动到图示位置时，在平行板左边缘中央处刚好有一带电粒子以初速度v₀=0.5 m/s向右运动，并恰好能从平行板的右边缘飞出，之后进入到有界匀强磁场中，其磁感应强度大小为B₂=2 T，左边界为图中的虚线位置，右侧及上下范围均足够大。（忽略金属杆与圆环的接触电阻、圆环电阻及导线电阻，忽略电容器的充放电时间，忽略带电粒子在磁场中运动时的电磁辐射等影响，不计平行金属板两端的边缘效应及带电粒子的重力和空气阻力。提示：导体棒以某一端点为圆心匀速转动切割匀强磁场时产生的感应电动势为E=BL²ω/2）试分析下列问题：
（1）从图示位置开始金属杆转动半周期的时间内，两极板间的电势差U_MN；
（2）带电粒子飞出电场时的速度方向与初速度方向的夹角θ；
（3）带电粒子在电磁场中运动的总时间t_总。

Answer 1

解：（1）由旋转切割公式得E=B₁L₁²ω/2=2 V
由电路的连接特点知E=I·4R，U₀=I·2R=E/2=1 V
T₁=2π/ω=20 s
由右手定则知
在0~T₁/2时间内 金属杆ab中的电流方向为b→a，则φ_a > φ_b
在0~T₁/2时间内 金属杆ab中的电流方向为a→b，则φ_a < φ_b
则在0~T₁/2时间内φ_M < φ_N
U_MN=- U₀=- 1 V
（2）粒子在平行板电容器内做类平抛运动，在0~T₁/2时间内
水平方向L₂=v₀·t₁
竖直方向，，，
则q/m=0.25 C/kg，v_y=0.5 m/s，
tanθ=v_y/v₀=1
所以θ=45°
（3）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动
由，得
即，
由几何关系及粒子在磁场中运动的对称性可知：粒子恰好在磁场中做了3/4圆周运动，并且粒子刚好能从平行板电容器的另一极板重新飞回到电场中
则磁场中的运动时间为t₂=3T₂/4=3π s
由于t₁ + t₂=4 + 3π≈13.42 s，大于T₁/2且小于T₁，则此时飞回电场时，电场方向与开始时相反，并且此时的速度与飞出电场时的速度等大、与水平方向的夹角大小相同，方向为倾斜左上45°，则运动具有对称性，t₃=t₁=4 s
综上带电粒子在电磁场中总的运动时间为t_总=t₁ + t₂ + t₃=8 + 3π≈17.42 s