Question

9．如图所示，长为4L的杆竖直固定在天花板上，其上穿有a、b两个小球（小球可看成质点），质量分别为m_a=m，m_b=3m．a球与杆之间没有摩擦力，b球与杆之间的滑动摩擦力恰好等于其重力，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力．现将b球放在天花板下方距天花板距离为L处，且处于静止状态，a球与天花板接触并由静止释放．设两球碰撞时间极短，且无机械能损失，求两球能否在杆上发生第二次碰撞．

Answer 1

分析 a与b碰撞前由机械能守恒定律求出速度，ab碰撞为弹性碰撞，以v₀方向为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式求解碰撞后速度，再结合运动学基本公式求解即可．

解答 解：设a与b碰撞前速度为v₀，则由机械能守恒得：
mgL=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{2gL}$
ab碰撞为弹性碰撞，以v₀方向为正方向，根据动量守恒定律得：
mv₀=mv₁+3mv₂
根据机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}×3m{{v}_{2}}^{2}$
解得：${v}_{1}=-\frac{1}{2}{v}_{0}$，${v}_{2}=\frac{1}{2}{v}_{0}$
碰撞后a球竖直上抛，b球匀速下滑，
设经过时间t，两球再次相碰，令v₃=-v₁，由运动学知识可得：
$-{v}_{2}t={v}_{3}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：t=$2\sqrt{\frac{2L}{g}}$
此时b得位移h=v₂t=2L
因为h+L=3L＜4L
所以ab两球在杆上可以发生第二次相碰
答：两球能在杆上发生第二次碰撞．

点评 本题主要考查了动量守恒定律以及机械能守恒定律的直接应用，要求同学们能正确分析小球的运动情况，注意应用动量守恒定律解题时要规定正方向．