Question

6．如图，一个质量为m=0.6kg的小球，在左侧平台上运行一段距离后从边缘A点以v₀=$\frac{20}{3}$m/s水平飞出，恰能沿圆弧切线从P点进入固定在地面上的竖直的圆弧管道，并继续滑行．已知圆弧管道口内径远小于圆弧半径R，OP与竖直方向的夹角是θ=37°，平台到地面的高度差为h=1.45m．若小球运动到圆弧轨道最低点时的速度大小是v₁=10m/s．取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）小球从A点运动到P点所需的时间t；
（2）P点距地面的高度△h和圆弧半径R；
（3）小球对圆弧轨道最低点的压力F_N大小；
（4）若通过最高点Q点时小球对管上壁的压力大小9N，求小球经过Q点时的速度v₂大小．

Answer 1

分析 （1）恰好从光滑圆弧PQ的P点的切线方向进入圆弧，说明到到P点的速度v_P方向与水平方向的夹角为θ，根据平抛运动的基本公式即可求解时间；
（2）由：${h}_{1}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$求出小球下落的高度，在由几何关系即可求出P点距地面的高度△h和圆弧半径R；
（3）对小球在最低点的受力分析，根据向心力公式结合几何关系即可求解；
（4）对小球在最高点进行受力分析，根据向心力公式即可求解．

解答 解：（1）对P点的速度矢量分解，有：$tan37°=\frac{v_y}{v_x}=\frac{gt}{v_0}$ 
代入数据得：t=0.5s
（2）竖直方向小球做自由落体运动，由：${h}_{1}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×10×0．{5}^{2}$=1.25m
由几何关系，P点高度：h₂=h-h₁=0.2m
有几何关系：$\frac{R-△h}{R}=cos37°$
代入数据得：R=1m
（3）在最低点，支持力与重力的和提供小球的向心力，得：${F}_{N1}-mg=\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}$
代入数据得：F_N1=66N
由牛顿第三定律得小球对圆弧轨道最低点的压力：F_N1′=F_N1=66N
（4）由${F}_{N2}+mg=\frac{m{v}_{2}^{2}}{R}$
带入数据得：v₂=5m/s
答：（1）小球从A点运动到P点所需的时间是0.5s；
（2）P点距地面的高度△h是0.2m，圆弧半径是1m；
（3）小球对圆弧轨道最低点的压力F_N大小是66N；
（4）若通过最高点Q点时小球对管上壁的压力大小9N，小球经过Q点时的速度v₂大小是5m/s．

点评 恰能无碰撞地沿圆弧切线从B点进入光滑竖直圆弧轨道，这是解这道题的关键，理解了这句话就可以求得小球的末速度，本题很好的把平抛运动和圆周运动结合在一起运用机械能守恒解决，能够很好的考查学生的能力，是道好题．本题是平抛运动和圆周运动相结合的典型题目，除了运用平抛运动和圆周运动的基本公式外，求速度的问题，动能定理不失为一种好的方法．