Question

17．如图所示为通过弹射器研究弹性势能的实验装置．光滑$\frac{3}{4}$圆形轨道竖直固定于光滑水平面上，半径为R．弹射榉固定于A处．某实验过程中弹射器射出一质量为m的小球，恰能沿圆轨道内侧到达最髙点C，然后从轨道D处（D与圆心等高）下落至水平面．取重力加速度为g下列说法正确的是（　　）

• A． 小球运动至最低点B时对轨道压力为5mg
• B． 小球从D处下落至水平面的时间小于$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
• C． 小球落至水平面时的动能为2mgR
• D． 释放小球前弹射器的弹性势能为$\frac{5mgR}{2}$

Answer 1

分析 恰能沿圆轨道内侧到达最髙点C，在最高点由重力提供向心力，由临界条件可求得最高点的速度；
由机械能守恒和牛顿第二定律可求得B点的压力；
小球由D到地面做匀加速直线运动，假设做自由落体运动时，求出时间再进行比较；
小球从被弹出后机械能守恒，由机械能守恒可求小球落至水平面时的动能；
利用功能关系可求释放小球前弹射器的弹性势能．

解答 解：A．小球恰好通过最高点，则由mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得v=$\sqrt{gR}$；由B到C过程中，机械能守恒，则有：mg•2R=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv²；B点时由牛顿第二定律有：F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$；联立解得，F=6mg，故A错误；
B．小球从C到D的过程中机械能守恒，则有mgR=$\frac{1}{2}$m${v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv²；解得v_D=$\sqrt{3gR}$；小球由D到地面做匀加速直线运动，若做自由落体运动时，由R=$\frac{1}{2}$gt²可得，t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，而现在有初速度，故时间小于$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，故B正确；
C．对C到地面过程由机械能守恒得：E_k-$\frac{1}{2}$mv²=mg•2R，E_K=2.5mgR．故C错误；
D．小球弹出后的机械能等于弹射器的弹性势能，由功能关系可得弹性势能为：E=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv²=2.5mgR．故D正确．
故选：BD．

点评 本题考查功能关系及机械能守恒定律，要注意明确系统只有重力及弹簧的弹力做功，机械能才守恒；正确选择初末状态即可顺利求解．注意轻绳模型在最高点的临界条件．