Question

（10分）如图所示，AB是倾角为的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R。一个质量为m的物体(可以看作质点)从直轨道上的某处P点由静止释放，沿轨道下滑，结果它第一次在圆弧轨道上运动时，恰能运动到与圆心O等高处的C点。已知BO与竖直方向夹角等于直轨道倾角，物体与轨道AB间的动摩擦因数为。求：

（1）物体做往返运动的整个过程中，在AB轨道上通过的总路程；

（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力．

Answer 1

解析：

（1）设P离圆心O所处的水平面的高度为h如图所示。物体每作一次往复运动。在上能上升的最大高度都减小一些，最终当它到达B点时，速度变为零。

考虑物体从P点出发，第一次到达C处时，速度为零，根据动能定理，有

解得   ①

从P点出发，最终到达B点速度为零的全过程，根据动能定理，有

 ②

式子中L总为物体在AB轨道上通过的总路程

将①代入②求得

解上式，可得

第一问，另解：

设P到B的距离为L，考虑从P点出发，第一次到达C时速度为零，根据动能定理有：

解得：

再考虑物体从C出发，最终到达B点速度为零的全过程，根据动能定理，有

式子中L’为物体从C开始滑动后，在AB轨道上通过的总路程

解上式，可得

所以全过程中，物体在AB轨道上通过的总路程为

将①②代入上式求得

（2）最终物体以B（还有B关于OE的对称点）为最高点在圆弧轨道底部作往返运动。设物体从B运动到E，速度到达，根据机械能守恒定律有：

在E点根据牛顿第二定律，有

联立以上两式，解得

所以，物体对圆弧轨道的压力