Question

12．如图所示，水平放置的正方形光滑玻璃板abcd，边长L，距地面的高度为H，玻璃板正中间有一个光滑的小孔O，一根细线穿过小孔，两端分别系着小球A和小物块B，当小球A以速度v在玻璃板上绕O点做匀速圆周运动时，AO间的距离为l．已知A的质量为m_A，重力加速度g
（1）求小物块B的质量m_B；
（2）当小球速度方向平行于玻璃板ad边时，剪断细线，则小球落地前瞬间的速度多大？
（3）在（2）的情况下，若小球和物体落地后均不再运动，则两者落地点间的距离为多少？

Answer 1

分析 （1）B的重力在数值上等于A做圆周运动的向心力；
（2）根据机械能守恒求小球落地时的速度大小；
（3）A先做一段匀速直线运动，脱离玻璃板后做平抛运动，B做自由落体，结合几何知识求两者的落地距离．

解答 解：（1）以B研究对象，根据平衡条件：T=m_Bg，
以A为研究对象，根据牛顿第二定律：m_Bg=${m}_{A}\frac{{v}^{2}}{l}$，
得：m_B=$\frac{{m}_{A}{v}^{2}}{gl}$．
（2）A下落过程，根据机械能守恒定律：
$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}^{2}+{m}_{A}gH=\frac{1}{2}{m}_{A}v{′}^{2}$，
解得：$v′=\sqrt{{v}^{2}+2gH}$
（3）A脱离玻璃板后做平抛运动，竖直方向自由落体：
$H=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
则平抛水平位移：
$x=\frac{L}{2}+vt$，
二者落地的距离：
s=$\sqrt{{x}^{2}+{l}^{2}}=\sqrt{v（\sqrt{\frac{2H}{g}+\frac{L}{2}}）^{2}+{l}^{2}}$．
答：（1）小物块B的质量$\frac{{m}_{A}{v}^{2}}{gl}$；
（2）当小球速度方向平行于玻璃板ad边时，剪断细线，则小球落地前瞬间的速度$\sqrt{{v}^{2}+2gH}$．
（3）在（2）的情况下，若小球和物体落地后均不再运动，则两者落地点间的距离为$\sqrt{v{（\sqrt{\frac{2H}{g}+\frac{L}{2}}）}^{2}+{l}^{2}}$．

点评 本题属于平抛运动和圆周运动的综合应用题型，求第三问时注意两者的距离是以绳长和平抛运动水平位移为邻边的斜边长．