Question

16．如图所示，平行光滑导轨放在匀强磁场B中，B=0.4T，金属棒ab始终以恒定的速度v沿导轨向左匀速运动，导轨宽L=1m，电阻R₁=R₃=8Ω，R₂=2Ω，导轨电阻不计，一电容器的极板水平放置，板间距离为d=10mm，内部有一个质量m=10^-14kg，电量q=10^-15C的微粒，在电键K断开时处于静止状态；当K闭合时，微粒以a=7m/s²的加速度匀加速下落，g=10m/s²，求：
（1）金属棒ab的电动势和内电阻．
（2）金属棒ab运动速度的大小．
（3）K闭合后外力做功的功率．

Answer 1

分析 （1）K断开时，带电微粒在重力与电场力作用下处于静止状态，由平衡条件列出方程；K闭合时，粒子在重力和电场力作用下产生加速度，可求平行板间电压，根据闭合电路欧姆定律和串并联电路特点可求电动势和内电阻．
（2）由公式E=BLv求金属棒ab的速度．
（3）K闭合后，作用于棒的拉力的功率可以使用公式P=Fv求得．

解答 解：（1）K断开时，带电微粒在电容器两极间静止时，受到向上的电场力和向下的重力作用而平衡，则有
   mg=$\frac{q{U}_{1}}{d}$
由此式可解出电容器两极板间的电压为：U₁=$\frac{mgd}{q}$=$\frac{1{0}^{-14}×10×0.01}{1{0}^{-15}}$V=1V
由于K断开，R₁、R₂的电压和等于电容器两端电压U₁，R₃上无电流通过，可知电路中的感应电流即为通过R₁、R₂的电流I₁，
 I₁=$\frac{{U}_{1}}{{R}_{2}+{R}_{1}}$=$\frac{1}{2+8}$A=0.1A，
从而ab切割磁感线运动产生的感应电动势为：
 E=U₁+I₁r=1+0.1r…①
K闭合时，带电微粒向下做匀加速运动，由牛顿第二定律可得：
 mg-$\frac{q{U}_{2}}{d}$=ma
得：U₂=0.3V，此时的感应电流为 I₂=$\frac{{U}_{2}}{{R}_{2}}$=$\frac{0.3}{2}$A=0.15A，
由闭合电路欧姆定律可得：E=I₂（$\frac{{R}_{1}{R}_{3}}{{R}_{1}+{R}_{3}}$+R₂+r）=0.15（6+r）…②
解①②两式可得：E=1.2V，r=2Ω
（2）由E=BLv可得：v=$\frac{E}{BL}$=$\frac{1.2}{0.4×1}$m/s=3m/s，即导体棒ab匀速运动的速度v=3m/s
（3）K闭合时，通过ab的电流I₂=0.15A，ab所受的安培力为 F₂=BI₂L=0.4×0.15×1N=0.06N
ab以速度v=3m/s做匀速运动，所受外力F必与磁场力F₂大小相等、方向相反，即F=0.06N，方向向右．
可见，外力的功率为：P=Fv=0.06×3W=0.18W
答：
（1）金属棒ab的电动势是1.2V，内电阻是2Ω．
（2）金属棒ab运动速度的大小是3m/s．
（3）K闭合后外力做功的功率是0.18W．

点评 本题是电磁感应与电路的综合，它们联系的桥梁是电动势和电压，求电动势和内阻的方法与电路中的求解方法一样，对两种情况列出方程，组成方程组求解电动势和内阻．