Question

4．（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=K，K是一个对所有行星都相同的常量，卫星绕地球做运动的形式与行星绕太阳运动的形式相似，将卫星绕地球的运动按圆周运动处理，请你推导出地球卫星系统中该常量k的表达式，已知万有引力常量为G，地球的质量为M．
（2）某人造卫星绕地球做圆周运动，轨道半径6.8×10³km，周期为5.6×10³s，试计算地球的质量M_地（G=6.67×10^-11N•m²/kg²，结果保留一位有效数字）

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，以及开普勒第三定律求出地球卫星系统中该常量k的表达式．
（2）根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期求出地球的质量

解答 解：（1）以行星为研究对象，根据万有引力定律和牛顿第二定律得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得：K=$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{GM}{4{π}^{2}}$
（2）由$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{GM}{4{π}^{2}}$可得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$=6×10²⁴Kg
答：（1）k的表达式为K=$\frac{GM}{4{π}^{2}}$
（2）地球的质量为6×10²⁴Kg

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，注意运用该理论求解天体质量只能求解中心天体的质量，并能求解环绕天体的质量