Question

如图所示，轻质弹簧将质量为m的小物块连接在质量为M(M=3 m)的光滑框架内.小物块位于框架中心位置时弹簧处于自由长度.现框架与小物块共同以速度v₀沿光滑水平面向左匀速滑动.

(1)若框架与墙壁发生瞬间碰撞后速度为0且与墙壁间不黏连，求框架刚要脱离墙壁时小物块速度的大小和方向；

(2)在(1)情形下，框架脱离墙壁后的运动过程中，弹簧弹性势能的最大值E_pm;

(3)若框架与墙壁发生瞬间碰撞，立即反弹，在以后过程中弹簧的最大弹性势能为 mv₀²，求框架与墙壁碰撞时损失的机械能ΔE₁;

(4)在(3)情形下试判定框架与墙壁能否发生第二次碰撞.若不能，说明理由．若能，试求出第二次碰撞时损失的机械能ΔE₂.(设框架与墙壁每次碰撞前后速度大小之比不变)

Answer 1

(1)框架与墙壁发生碰撞后,小物块压缩弹簧,当弹簧恢复原长时,小物块的速度大小为v₀,方向向右,框架离开墙壁.                                                     

(2)在(1)情形下,当物块与框架达到共同速度v时,弹性势能最大.由动量守恒和机械能守恒得mv₀=(m+M)v①                                                             

    E_pm=mv₀²-(m+M)v²                                               ②

    由①②式得E_pm=mv₀².                                                

(3)设框架与墙壁第一次碰撞后反弹速度为v₁,以后达到的共同速度为v′,则Mv₁-mv₀=(m+M)v′                                                       ③

    mv₀²+Mv₁²-(m+M)v²=mv₀²                                     ④

    由③④式解得v₁=,v′=0                                    

    则ΔE₁=M(v₀²-v₁²)=mv₀².                                           

(4)设框架反弹后,当弹簧再次恢复原长时,框架和物块的速度分别为v₁²、v₂²,则

    Mv₁′-mv₂′=Mv₁-mv₀                                                    ⑤

    mv₂′²+Mv₁′²=Mv₁²+mv₀²                                       ⑥

    由⑤⑥式解得v₁=,v₂′=v₀

    框架在往复运动中位移大小相等,因此能与墙壁发生第二次碰撞.              

    设第二次碰后框架的速度为v₂,由题意得,                              ⑦

    ΔE₂=M(v₁²-v₂²)                                                         ⑧

    由⑦⑧式解得ΔE₂=mv₀².