Question

11．我国的“天链一号”星是地球同步轨道卫星，可为载人航天器及中低轨道卫星提供数据通讯．如图为“天链一号“星a、赤道平面内的低轨道卫星 b、地球的位置关系示意图，O为地心，地球相对卫星a、b的张角分别为θ₁和θ₂（θ₂图中未标出），卫星a的轨道半径是b的4倍．已知卫星a、b绕地球同向运行，卫星a的周期为T，在运行过程中由于地球的遮挡，卫星b会进入与卫星 a通讯的盲区．卫星间的通讯信号视为沿直线传播，信号传输时间可忽略．下列分析正确的是（　　）

• A． 张角θ₁和θ₂满足sinθ₂=4sinθ₁
• B． 卫星b星的周期为$\frac{T}{4}$
• C． 卫星b每次在盲区运行的时间为$\frac{{θ}_{1}+{θ}_{2}}{14π}$T
• D． 卫星b每次在盲区运行的时间为$\frac{{θ}_{1}+{θ}_{2}}{16π}$T

Answer 1

分析 根据几何关系求解张角θ₁和θ₂满足的关系，由万有引力提供向心力，列式求解卫星b的周期．卫星间的通讯信号视为沿直线传播，由几何关系得到卫星b在盲区有两个边缘相对于地球的张角，再求解在盲区运行的时间．

解答 解：A、设卫星a、b的轨道半径分别为r₁和r₂．地球半径为R．
由几何知识得：tan$\frac{{θ}_{1}}{2}=\frac{R}{{r}_{1}}$，tan$\frac{{θ}_{2}}{2}=\frac{R}{{r}_{2}}$
由题 r₁=4r₂．则得 4tan$\frac{{θ}_{1}}{2}$=tan$\frac{{θ}_{2}}{2}$，由数学知识sinθ₂≠4sinθ₁．故A错误．
B、由$\frac{GMm}{{{r}_{\;}}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{\;}}^{2}}$r
可得 T=2$π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，可得 r₁=4r₂．则得卫星b星的周期为$\frac{T}{8}$，故B错误．
CD、如图，A、B是卫星盲区两个边缘位置，由几何知识可得∠AOB=θ₁+θ₂，则 （$\frac{\frac{2π}{T}}{8}-\frac{2π}{T}$）t=∠AOB=θ₁+θ₂，
解得，b每次在盲区运行的时间为 t=$\frac{{θ}_{1}+{θ}_{2}}{14π}$T，故C正确，D错误．
故选：C

点评 本题既要掌握卫星问题的基本思路：万有引力提供向心力，更重要的是画出示意图，运用几何知识解答．