Question

18．如图所示，边长为l、质量为m、阻值为R的正方形金属框abcd位于光滑的水平面上．金属框的ab边与磁场边缘平行，并以一定的初速度进入矩形磁场区域，运动方向与磁场边缘垂直．磁感应强度方向垂直水平面向下，磁场在金属框运动方向上的长度为L（L未知，但L≥l）．已知金属框的ab边进入磁场后，金属框在进出磁场阶段中的运动速度与ab边在磁场的位置坐标之间的关系为v=v₀-kx（v₀未知），式中k为一正常常量．若金属框完全通过磁场后恰好静止，求：
（1）磁场的磁感应强度大小．
（2）金属框进入磁场过程中所产生的热量．

Answer 1

分析 （1）根据v=v₀-kx得到△v与△x的关系，由加速度的定义a=$\frac{△v}{△t}$，速度的定义v=$\frac{△x}{△t}$，得到加速度与速度的关系．由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL及牛顿第二定律F=ma结合，即可求得磁感应强度B的大小．
（2）据题线框完全进入磁场后没有感应电流产生，线框做匀速运动，由x=2l时v=0，由v=v₀-kx，求出v₀，再由动能定理求出线框克服安培力做功，即可求得金属框进入磁场过程中所产生的热量．

解答 解：（1）由v=v₀-kx，得：△v=-k△x
$\frac{△v}{△t}$=-k$\frac{△x}{△t}$=-kv
即得 a=$\frac{△v}{△t}$=-kv
而E=BLv、I=$\frac{E}{R}$，线框进入磁场时所受的安培力大小为  F=BIL
取向右为正方向，则根据牛顿第二定律得-F=ma
由以上各式得 B=$\frac{\sqrt{mkR}}{L}$
（2）金属框完全进入磁场后，金属框中磁通量不变，无感应电流产生，金属框不受安培力而做匀速运动．
由题意可知 x=2L时，v=0
又v=v₀-kx，得v₀=2kL
由动能定理得：-W_克=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
即得克服安培力做功为  W_克=2mk²L²，根据功能关系得金属框进入磁场过程中所产生的热量 Q=W_克=2mk²L²．
答：
（1）磁场的磁感应强度大小是$\frac{\sqrt{mkR}}{L}$．
（2）金属框进入磁场过程中所产生的热量是2mk²L²．

点评 本题关键要掌握加速度和速度的定义，由题中信息分析加速度与速度的关系，知道克服安培力做功等于线框产生的热量．