Question

2．若银河系外X恒星有一行星P围绕X恒星运行的周期为T₁，它与X恒星中心的距离为月球到地球中心距离的n倍，月球绕地球运行郁周期为T₂，假定行星P绕X恒星运行和月球绕地球运行均做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　）

• A． X恒星质量与地球质量之比为$\frac{n{{T}_{2}}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$
• B． X恒星质量与地球质量之比为$\frac{{n}^{3}{{T}_{2}}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$
• C． 行星P运行速度与月球公转速度之比为$\frac{1}{\sqrt{n}}$
• D． 行星P运行速度与月球公转速度之比为$\frac{n{T}_{2}}{{T}_{1}}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，求出中心天体质量的表达式，结合环绕天体轨道半径之比和周期之比求出中心天体的质量之比，结合轨道半径之比和周期之比求出公转速度之比．

解答 解：A、根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，因为行星P绕恒星X的周期与月球绕地球的周期之比为$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$，行星P的轨道半径是月球轨道半径的n倍，则X恒星的质量与地球质量之比为$\frac{{n}^{3}{{T}_{2}}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$，故B正确，A错误．
C、根据v=$\frac{2πr}{T}$知，行星P绕恒星X的周期与月球绕地球的周期之比为$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$，行星P的轨道半径是月球轨道半径的n倍，则行星P的运行速度与月球公转速度之比为$\frac{n{T}_{2}}{{T}_{1}}$，故D正确，C错误．
故选：BD．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，求出中心天体质量的表达式是解决本题的突破口，难度不大．