Question

如图所示，MNPQ是一个足够长的处于竖直平面内的固定的金属框架，框架的宽度为L，电阻忽略不计．ab是一根质量为m，有一定电阻的导体，能紧贴框架无摩擦下滑，整个框架平面处于垂直于框架平面的匀强磁场中，磁感强度为B．当单刀双掷开关S置于1位置时，导体ab恰好静止在框架的某一处．已知电源的电动势为ε，内阻为r．
（1）匀强磁场的方向如何？
（2）当开关S置于2位置时，导体ab由静止开始下落，试写出ab下落运动的分析过程，并用所给的物理量表达ab在下落过程中的最大速度．
（3）ab达到最大速度的1/2时，其加速度大小是多大？此时ab两端的电压为多少？
（4）如果ab由静止开始下落到达到最大速度所用的时间为t，下落高度为h．试推导则该过程中h和t应满足的不等式关系？

Answer 1

（1）由左手定则判断得知：磁场方向垂直纸面向内
（2）S接1时，mg=F=BIL=B

ε

R+r

L  ①
S接2时，刚开始ab下落的加速度为g，接着加速运动、同时受重力和安培力作用，由牛顿第二定律得：mg-F=ma
随着的υ的增大，感应电场也随着增大，感应电流也增大，从而使F增大而导致速度a的减小，最终达到和重力的平衡而做匀速运动，因而有：mg=F=BIL=

B2L2 υ  m

R

②
由①得R代入②整理后得：υ_m=

ε

BL

-

mgr

B2L2

（3）由②可知，当ab达到最大速度的

1

2

时，安培力F=

1

2

mg，因此有：
   mg-F=ma
解得，a=

1

2

g．
又因为，ab切割磁感线产生感应电动势，其电阻相当于电源内阻，而据题意，框架电阻不计，因而外电阻为0，从而使ab两端的电压（端电压）为0．
（4）作出ab运动过程的υ-t图线：
ab初始加速度为g，即图线在原点的切线斜率为g．运动过程下落距离h即为图线曲线部分所包的“面积”，它介于图示“梯形面积”和“三角形面积”之间．
故有：

1

2

υm(2t-

υm

g

)＞h＞

1

2

υmt，
将（2）中求的υ_m值代入得：

1

2

(

ε

BL

-

mgr

B2L2

)(2t-

ε

BLg

+

mr

B2L2

)＞h＞

1

2

(

ε

BL

-

mgr

B2L2

)t
答：
（1）匀强磁场的方向垂直纸面向内；
（2）S接2时，刚开始ab下落的加速度为g，接着加速运动、同时受重力和安培力作用，由牛顿第二定律得：mg-F=ma，随着的υ的增大，感应电场也随着增大，感应电流也增大，从而使F增大而导致速度a的减小，最终达到和重力的平衡而做匀速运动，ab在下落过程中的最大速度为

ε

BL

-

mgr

B2L2

．
（3）ab达到最大速度的

1

2

时，其加速度大小是

1

2

g，此时ab两端的电压为0．
（4）该过程中h和t应满足的不等式关系为：

1

2

(

ε

BL

-

mgr

B2L2

)(2t-

ε

BLg

+

mr

B2L2

)＞h＞

1

2

(

ε

BL

-

mgr

B2L2

)t