Question

如图所示，有位于竖直平面上的半径为R的圆形光滑绝缘轨道，其上半部分处于竖直向下、场强为E=

mg

q

的匀强电场中，下半部分处于水平向里的匀强磁场中；质量为m，带正电为q的小球，从轨道的水平直径的M端由静止释放，若小球在某一次通过最低点时对轨道的压力为零，求：
（1）磁感强度B的大小；
（2）小球第二次通过轨道最低点时对轨道的压力；
（3）若小球恰好能在圆形轨道内作完整的圆周运动，则小球在轨道最高点的速度大小为多少？小球从M出发时的竖直向下的速度大小是多少？

Answer 1

分析：（1）小球在通过最低点时对轨道的压力为零，由此可知，在最低点时洛伦兹力和重力的合力恰好作为圆周运动的向心力，根据向心力的公式即可以求得磁感应强度B的大小；
（2）当小球反向运动时，小球受到的洛伦兹力的反向反向，在最低点时对小球受力分析，由向心力的公式可以求得小球对轨道最低点的最大压力；
（3）在最高点时，小球的重力和电场力作为圆周运动的向心力的大小，从M点到最高点的过程中，根据动能定理可以求得小球从轨道的水平直径的M端下滑的最小速度．

解答：解：（1）设小球向右通过最低点时的速率为v，由题意得：
mgR=

1

2

mv²…①
qBv-mg=m

v2

R

…②
B=

3mg

q 2gR

…③
（2）小球向左通过最低点时对轨道的压力最大．
F_N-mg-qBv=m

v2

R

…④
F_N=6mg…⑤
（3）要小球完成圆周运动的条件是在最高点满足：
mg+qE=m

v12

R

…⑥
得：v₁=

(mg+qE)R m

=

2gR

从M点到最高点由动能定理得：
-mgR-qER=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₀²…⑦
由以上可得v₀=

3R(mg+qE) m

=

6gR

…⑧
答案：（1）磁感应强度B的大小为

3mg

q 2gR

，
（2）小球对轨道最低点的最大压力为6mg，
（3）小球在轨道最高点的速度大小为

2gR

，小球从轨道的水平直径的M端下滑的速度为

6gR

．

点评：本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，要掌握住半径公式、周期公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了．