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    15．如图所示，光滑的平行金属导轨CD与EF间距为L=1m，与水平夹角为θ=300，导轨上端用导线CE连接（导轨和连接线电阻不计），导轨处在磁感应强度为B=0.2T、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中．一根电阻为R=$\sqrt{2}$Ω的金属棒MN两端有导电小轮搁在两导轨上，棒上有吸水装置P．取沿导轨向下为x轴正方向，坐标原点在CE中点．开始时棒处在x=0位置（即与CE重合），棒的起始质量不计．当棒开始吸水自静止起下滑，质量逐渐增大，设棒质量的增大与位移x的平方根成正比，即m=k$\sqrt{x}$，其中k=0.01kg/m${\;}^{\frac{1}{2}}$．求：
    （1）在金属棒下滑1m位移的过程中，流过棒的电荷量是多少？
    （2）猜测金属棒下滑过程中做的是什么性质的运动，并加以证明．
    （3）当金属棒下滑2m位移时电阻R上的电流有多大？

    分析 （1）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律求出电路中产生的平均感应电流大小，即可求得流过棒的电荷量；
    （2）通过分析受力情况，来分析金属棒的运动情况：棒从静止开始运动，首先可以确定棒开始阶段做加速运动，然后通过受力分析，看看加速度可能如何变化，棒在下滑过程中沿导轨方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F．由于m随位移x增大而增大，所以，mgsinθ是一个变力；而安培力与速度有关，也随位移增大而增大，如果两个力的差值恒定，即合外力是恒力的话，棒有可能做匀加速运动． 假设棒做的是匀加速运动，根据牛顿第二定律求出加速度的表达式，根据加速度，分析假设是否正确．
    （3）根据第2问分析得知，棒做匀加速运动，将x=2m代入加速度的表达式，求出加速度，由运动学公式求解速度．

    解答 解：（1）金属棒下滑1 m过程中，流过棒的电量：$q=\frac{△φ}{R}=\frac{BxL}{R}=\frac{0.2×1×1}{{\sqrt{2}}}=0.1\sqrt{2}=0.14C$
    （2）由于棒从静止开始运动，因此首先可以确定棒开始阶段做加速运动，然后通过受力分析，看看加速度可能如何变化，如图所示，棒在下滑过程中沿导轨方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F．由于m随位移x增大而增大，所以，mgsinθ是一个变力；而安培力与速度有关，也随位移增大而增大，如果两个力的差值恒定，即合外力是恒力的话，棒有可能做匀加速运动．                                
    假设棒做的是匀加速运动，且设下滑位移x时的加速度为ax，根据牛顿第二定律，有mgsinθ-F=max
    而安培力；$F=BIL=B\frac{BLv}{R}L=\frac{{{B^2}{L^2}v}}{R}$
    所以：$mgsinθ-\frac{{{B^2}{L^2}v}}{R}=m{a_x}$
    假设棒做匀加速直线运动，则瞬时速度$v=\sqrt{2{a_x}x}$，由于$m=k\sqrt{x}$，代入后得：$k\sqrt{x}gsinθ-\frac{{{B^2}{L^2}\sqrt{2{a_x}x}}}{R}=k\sqrt{x}{a_x}$
    $kgsinθ-\frac{{{B^2}{L^2}\sqrt{2{a_x}}}}{R}=k{a_x}$①
    从上述方程可以看出ax的解是一个定值，与位移x无关，这表明前面的假设成立，棒的运动确实是匀加速直线运动．若ax与位移x有关，则说明ax是一个变量，即前面的假设不成立．                                                               
    （3）为了求棒下滑2 m时的速度，应先求出棒的加速度．将题目给出的数据代①式得：
    $0.01×10×\frac{1}{2}-\frac{{{{0.2}^2}×{1^2}×\sqrt{2a}}}{{\sqrt{2}}}=0.01a$
    $a+4\sqrt{a}-5=0$
    令$y=\sqrt{a}$，则y2+4y-5=0
    解得y1=1，y2=-5（舍去）
    即加速度a=y2=1m/s2
    根据匀变速运动规律，$v=\sqrt{2{a_x}x}=\sqrt{2×1×2}=2m/s$
    此时电阻R上的电流$I=\frac{BLv}{R}=\frac{0.2×1×2}{{\sqrt{2}}}=0.2\sqrt{2}=0.28A$
    答：（1）在金属棒下滑1m位移的过程中，流过棒的电荷量是0.14C
    （2）棒的运动确实是匀加速直线运动，证明如上
    （3）当金属棒下滑2m位移时电阻R上的电流有0.28A

    点评 本题中运用感应电荷量公式q=$\frac{△∅}{R}$求解电量．通过先猜测，再进行证明，确定导体棒的运动情况，体现了科学研究常用的思路．

    练习册系列答案
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